4滋賀医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 三辺が三角形を作るための条件は、どの一辺も他の二辺の和より小さいことである。したがって$$1+a>b,\quad 1+b>a,\quad a+b>1.$$最初の二つは$|a-b|<1$にまとめられる。また辺の長さなので$a>0, b>0$である。よって求める範囲は第一象限で$a+b>1, |a-b|<1$を満たす部分であり、境界線は含まない。図では$a+b=1$より上で、$b=a-1$と$b=a+1$の間にある領域を第一象限内で取る。　 (2) 二辺のなす角を$C$とすると、三角形の面積は$$\displaystyle 1=\frac12 ab\sin C,\qquad 0<C<\pi.$$よって$0<\sin C\le1$から$ab\ge2$が必要である。逆に$a,b>0$かつ$ab\ge2$なら$\sin C=2/(ab)$となる$0<C<\pi$が取れるので、長さ$a,b$の二辺がなす角を$C$とする三角形を作れて、その面積は1である。等号$ab=2$のときは$C=\pi/2$であり、境界も含む。したがって第一象限の双曲線$ab=2$上およびその上側が求める範囲である。　 (3) 内接円の中心は$O=(0,0)$、半径は1である。$A=(2,0)$から円に引いた接線の接点を$T=(u,v)$とすると、$u^2+v^2=1$かつ$OT\perp AT$より$(A-T)\cdot T=0$、したがって$2u=1$である。よって接点は$(1/2,\sqrt3/2)$, $(1/2,-\sqrt3/2)$であり、固定される二辺の直線は$$AB: x+\sqrt3 y=2,\qquad AC: x-\sqrt3 y=2.$$頂点$A$から円へ向かう単位方向ベクトルを$u_+=(-\sqrt3/2,1/2)$, $u_-=(-\sqrt3/2,-1/2)$とする。残る辺$BC$が円に接する点を$Q=(\cos\theta,\sin\theta)$とおけば、その接線は$$x\cos\theta+y\sin\theta=1.$$この直線と$A+t u_+$, $A+s u_-$との交点は、それぞれ$$\displaystyle t=\frac{1-2\cos\theta}{\cos(\theta-5\pi/6)},\qquad s=\frac{1-2\cos\theta}{\cos(\theta-7\pi/6)}.$$三角形が円を内接円として含むには、$A$が$BC$と円の同じ側になければならず、$2\cos\theta<1$である。また$B,C$が$A$から円へ向かう二つの半直線上にある条件は$t>0,s>0$である。これらを合わせると$2\pi/3<\theta<4\pi/3$となる。この範囲では分母と分子はいずれも正で有限なので、各$\theta$に対し三角形が実際に作れる。したがって、図示する範囲はこの角度の接線分$B_\theta C_\theta$をすべて動かしたときの掃過領域である。各線分の両端は含む。角度の端$2\pi/3,4\pi/3$では接線が固定辺と平行になり有限の三角形を作れないため、その端は含まない。

(3) の領域を不等式と図で明示する。$s=|y|$ とおくと、求める領域は $$\displaystyle x<0,\qquad s\le\frac{2-x}{\sqrt3},\qquad x+\sqrt3s>-2$$ および次のいずれかを満たす点全体である。 $$\begin{cases}s<-\sqrt3x,\\x^2+s^2\ge1\end{cases} \quad\text{または}\quad \begin{cases}s\ge-\sqrt3x,\\-x+\sqrt3s>2.\end{cases}$$ この表示の必要十分性を確かめる。$A=(2,0)$ から単位円に引いた2接線は $x\pm\sqrt3y=2$。従って $P$ はその間の角領域にあり、$|y|\le(2-x)/\sqrt3$ となる。 第3の接線を $x\cos\theta+y\sin\theta=1$ と表すと、内接円をもつ非退化三角形となる条件は $2\pi/3<\theta<4\pi/3$。この角区間で $F(\theta)=x\cos\theta+y\sin\theta$ が1になるかを調べればよい。 $x\ge0$ のとき、この角領域の点では $F<1$ で不可能である。 $x<0$ のとき、閉角区間での最小値は $(-x-\sqrt3s)/2$ で端点のみに現れる。ゆえに1に達するにはこの値が1より小さいこと、すなわち $x+\sqrt3s>-2$ が必要である。 最大値は、$s<-\sqrt3x$ なら内点で $\sqrt{x^2+s^2}$、$s\ge-\sqrt3x$ なら端点で $(-x+\sqrt3s)/2$ である。前者は1以上、後者は端点を除くため1より大きいことが必要で、上記の場合分けを得る。連続性からこれらの条件は十分でもある。角領域内にあるこの接線上の点は線分 $BC$ 上にある。

図の境界について、単位円の左側の弧 $x<-1/2$ は含むが、両端 $(-1/2,\pm\sqrt3/2)$ は含まない。2本の固定接線上では $x<0$ の部分を含み、$x=0$ の端点は含まない。斜線境界のうち $x+\sqrt3|y|=-2$ の $x\le-2$ の部分、および $-x+\sqrt3|y|=2$ の $-1/2\le x\le0$ の部分は含まない。これらの直線の延長全体を除くという意味ではない。(1) の3本の直線境界も含まず、(2) の双曲線 $ab=2$ は含む。

青色が求める領域。表示枠を越える領域はそのまま続く。境界は本文の不等式を正本とする。