1滋賀医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

I. 階差数列は初項 $1$、公比 $-t$ の等比数列だから $$b_n=(-t)^{n-1}.$$ したがって、初項から第$n$項までの和を用いると $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=\frac{1-(-t)^{n-1}}{1+t}\qquad(n\ge1).$$

(1) $b_{n+1}=-tb_n$、$a_{n+1}=a_n+b_n$ であるから $$a_{n+2}=a_n+b_n+b_{n+1}=a_n+(1-t)b_n.$$ ここで $b_n\ne0$ かつ $0<1-t<1$ である。$b_n>0$ なら $$a_n<a_n+(1-t)b_n<a_n+b_n=a_{n+1},$$ また $b_n<0$ なら $$a_{n+1}=a_n+b_n<a_n+(1-t)b_n<a_n.$$ いずれの場合も $a_{n+2}$ は $a_n$ と $a_{n+1}$ の間にある。

(2) $0<t<1$ より $(-t)^{n-1}\to0$ であるから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{1-(-t)^{n-1}}{1+t} =\frac{1}{1+t}.$$

(3) $n\ge3$ を奇数とし、$m=n-1$ とおくと、$m$ は2以上の偶数である。(1)で得た一般項から $$\displaystyle a_n=\frac{1-t^m}{1+t}\qquad(0<t<1).$$ $\displaystyle F(t)=\frac{1-t^m}{1+t}$ とおく。$F$ は $0\le t\le1$ で連続であり、$F(0)=1,\ F(1)=0$ だから、中間値の性質により、$0<r<1$ を満たす各 $r$ に対して $F(t)=r$ となる $t$ が $0<t<1$ の範囲に少なくとも1つ存在する。さらに $0<x<y<1$ なら $$\displaystyle F(x)-F(y) =\frac{(y-x)+(y^m-x^m)+xy(y^{m-1}-x^{m-1})}{(1+x)(1+y)}>0.$$ よって $F$ は $0<t<1$ で減少する。したがって $F(t)=r$ となる $t$ はただ1つであり、$a_n=r$ となる $t$ もただ1つ存在する。

II. $k=0,1,2,\ldots$ に対し $$\displaystyle c_{2k+1}=\frac{k}{4(k+1)},\qquad c_{2k+2}=\frac34+\frac{1}{4(k+1)}$$ と定める。$x_k=c_{2k+1},\ y_k=c_{2k+2}$ とおくと、$x_k<x_{k+1}<y_k$ であるから、奇数 $n=2k+1$ のとき $c_{n+2}=x_{k+1}$ は $c_n=x_k$ と $c_{n+1}=y_k$ の間にある。また、$x_{k+1}<y_{k+1}<y_k$ であるから、偶数 $n=2k+2$ のとき $c_{n+2}=y_{k+1}$ は $c_n=y_k$ と $c_{n+1}=x_{k+1}$ の間にある。よってすべての $n$ について条件を満たす。一方、 $$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}c_{2k+1}=\frac14,\qquad \lim\limits _{k\to\infty}c_{2k+2}=\frac34.$$ 奇数番目と偶数番目の項の極限が異なるため、数列 $\{c_n\}$ は収束しない。