滋賀医科大学 2022年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

滋賀医科大学2022年度第3問

$a,b$ を正の定数とし， $xy$ 平面上の双曲線 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ を $H$ とする。0でない実数 $t$ に対して，直線 $y=t$ と $H$ の交点を $P,Q$ とし， $P$ における $H$ の接線と $Q$ における $H$ の接線の交点を $R$ とする。 $\triangle PQR$ の面積を $S$ とおく。

(1) $R$ の座標を $b,t$ を用いて表せ。

(2) $S$ を $a,b,t$ を用いて表せ。

(3) $t$ が0でない実数全体を動くとき， $S$ の最小値を $a,b$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle R=\left(0,-\frac{b^2}{t}\right)$ 。(2) $\displaystyle S=\frac{a(t^2+b^2)^{3/2}}{b|t|}$ 。(3) 最小値は $\displaystyle \frac{3\sqrt3ab}{2}$ 、 $\displaystyle t=\pm\frac{b}{\sqrt2}$ のとき。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$PQ=2a\sqrt{t^2+b^2}/b$ 、点Rから直線 $y=t$ までの距離は $(t^2+b^2)/|t|$ だから、三角形の面積は $\displaystyle S=\frac{a(t^2+b^2)^{3/2}}{b|t|}.$ （3）では $u=t^2/b^2>0$ と置くと $S=ab(1+u)^{3/2}/\sqrt u$ 。正の量の平方について $\displaystyle \frac{S^2}{a^2b^2}=\frac{(1+u)^3}{u}=\frac{27}{4}+\frac{(2u-1)^2(u+4)}{4u}\ge\frac{27}{4}.$ 等号は $u=1/2$ 、すなわち $t=\pm b/\sqrt2$ に限る。

この問題で使う考え方

陰関数微分による接線
底辺と高さ
正の変数への置換と平方評価

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。