2滋賀医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)　 k$\ge$2 ならば k-1<k より $$\displaystyle \frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$$ である。したがって $n\ge2$ に対し $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}} =1+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}} <1+\sum\limits _{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right) =1+1-\frac{1}{n} =2-\frac{1}{n}.$$

(2)　 x$\ge$0 とする。まず g(x)=$\displaystyle \frac{x^{2}}{2}$-1+$\cos$ x とおくと、 $$g(0)=g'(0)=0,\qquad g''(x)=1-\cos x\ge0.$$ $g''(x)\ge0$ より $g'$ は単調増加するので、$x\ge0$ では $g'(x)\ge g'(0)=0$、さらに $g(x)\ge g(0)=0$ である。よって $\displaystyle 1-\cos x\le\frac{x^{2}}{2}$。

次に $\displaystyle h(x)=1-\cos x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}$ とおくと、 $$\displaystyle h(0)=h'(0)=0,\qquad h''(x)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}=g(x)\ge0.$$ したがって同様に $h'(x)\ge0$、$h(x)\ge0$ となり、 $$\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\le1-\cos x$$ を得る。

(3)　 (2) に x=$\displaystyle \frac{1}{k}$ を代入して $k^{2}$ を掛けると、 $$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{24k^{2}}\le k^{2}\left(1-\cos\frac{1}{k}\right)\le\frac{1}{2}.$$ これを $k=1,\ldots,n$ について加え、$n$ で割ると、 $$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{24n}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}} \le\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\left(k^{2}-k^{2}\cos\frac{1}{k}\right) \le\frac{1}{2}.$$ (1) より $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}<2$ だから、 $$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{12n} <\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\left(k^{2}-k^{2}\cos\frac{1}{k}\right) \le\frac{1}{2}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $\displaystyle \frac{1}{2}$ に収束するので、求める極限は $\displaystyle \boxed{\frac{1}{2}}$ である。