III関西医科大学 2021年 数学 第III問解答・解説

関西医科大学 2021 大問Ⅲ — 解答（A）

$$\displaystyle a_1=\frac1{13},\qquad 5a_{n+1}=10a_n-a_{n+1}a_n.$$ $a_1>0$ であり、漸化式を $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{10a_n}{5+a_n}$$ と変形すれば、すべての $n$ で $a_n>0$ である。

(1) $a_2,a_3,a_4$

順に漸化式へ代入して $$\displaystyle a_2=\frac{10/13}{5+1/13}=\frac5{33},\qquad a_3=\frac{10(5/33)}{5+5/33}=\frac5{17},\qquad a_4=\frac{10(5/17)}{5+5/17}=\frac59.$$ いずれも既約分数である。

(2) 一般項

$b_n=1/a_n$ とおく。$a_n>0$ なので定義でき、漸化式から $$\displaystyle b_{n+1} =\frac{5+a_n}{10a_n} =\frac12b_n+\frac1{10}.$$ 定数 $1/5$ を引くと $$\displaystyle b_{n+1}-\frac15=\frac12\left(b_n-\frac15\right).$$ また $b_1=13$ だから $$\displaystyle b_n-\frac15 =\left(13-\frac15\right)\left(\frac12\right)^{n-1} =\frac{64}{5}\left(\frac12\right)^{n-1}.$$ 従って $$\displaystyle b_n=\frac{1+2^{7-n}}5,\qquad \boxed{a_n=\frac5{1+2^{7-n}} =\frac{5\cdot2^{n-1}}{2^{n-1}+64}}.$$

(3) 極限と $a_m=\alpha/2$

一般項から $$\displaystyle \alpha=\lim\limits _{n\to\infty}a_n =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{5\cdot2^{n-1}}{2^{n-1}+64}=5.$$ $a_m=\alpha/2=5/2$ とすると $$\displaystyle \frac{5\cdot2^{m-1}}{2^{m-1}+64}=\frac52 \quad\text{すなわち}\quad 2^{m-1}=64=2^6.$$ よって $$\boxed{\alpha=5,\qquad m=7}.$$

(4) 対称な項と平均

$m=7$ を使い、$1\le k<7$ に対して一般項を計算すると $$\displaystyle a_{7-k}=\frac5{1+2^k},\qquad a_{7+k}=\frac5{1+2^{-k}} =\frac{5\cdot2^k}{1+2^k}.$$ 従って $$\boxed{a_{m-k}+a_{m+k}=a_{7-k}+a_{7+k}=5=\alpha}.$$ また $a_7=\alpha/2=5/2$。$i=1,\ldots,13$ の項を $(a_{7-k},a_{7+k})\ (k=1,\ldots,6)$ の6組と中央項 $a_7$ に分けると $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{13}a_i=6\alpha+\frac{\alpha}{2} =\frac{13\alpha}{2}=\frac{65}{2}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\frac1{2m-1}\sum\limits _{i=1}^{2m-1}a_i =\frac1{13}\cdot\frac{65}{2}=\frac52}.$$

使用解法

正項性を確かめて逆数列を導入し、一次漸化式を等比数列に直して一般項を得た。極限と $a_m=\alpha/2$ を一般項から求め、指数の対称性で和と平均を計算した。