IV関西医科大学 2021年 数学 第IV問解答・解説

(1) 概形と座標軸との交点

上の2式はいずれも $x$ の偶関数で、曲線は $y$ 軸対称である。端点は $x=\pm2$ で上下の枝が一致し、$y=\sqrt3/2$。上側の枝は $x=0$ で $y=3/2$、$x=\pm1$ で $y=\sqrt3$ となる。例えば $x>0$ の上側の導関数は $$\displaystyle y_+'(x)=-\frac{3x}{8\sqrt{1-x^2/4}}+\frac{\sqrt3}{4},$$ であり、符号が $x=1$ で正から負に変わる。左側は対称である。下側の枝は $(0,-3/2)$ が最小点で、左右の端点 $(\pm2,\sqrt3/2)$ へ上がる。

$y$ 軸との交点は $x=0$ を代入して $$\displaystyle \left(0,\frac32\right),\qquad \left(0,-\frac32\right).$$ $x$ 軸と交わるのは下側の枝である。$y_-(x)=0$ として $$\displaystyle \frac32\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{\sqrt3}{4}|x| \quad\text{すなわち}\quad x^2=3,$$ より交点は $(\pm\sqrt3,0)$。概形は、左右端点 $(\pm2,\sqrt3/2)$ を結ぶ上側の枝が $(\pm1,\sqrt3)$ に山をもち $(0,3/2)$ で折れ、下側の枝が $(0,-3/2)$ を通る、左右対称の閉曲線である。

(2) 囲まれた図形の面積

縦幅は $$\displaystyle y_+(x)-y_-(x)=3\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}.$$ 従って、$x=2u$ と置換すると $$\displaystyle \begin{aligned} A&=\int_{-2}^{2}3\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\,dx =6\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^2}\,du\\ &=6\cdot\frac\pi2=3\pi. \end{aligned}$$ 最後の積分は半径1の半円の面積 $\pi/2$ である。

(3) $y$ 軸回転体の体積

図形は$y$軸対称なので、右半分$x\geq0$を回転させれば全体と同じ立体になる。 この右半分は、(1)の上下の式から $$\displaystyle \left(y-\frac{\sqrt3}{4}x\right)^2 \leq\frac94\left(1-\frac{x^2}{4}\right),\qquad x\geq0$$ と表せる。すなわち $$3x^2-2\sqrt3\,yx+4y^2-9\leq0,\qquad x\geq0.$$ 固定した高さ$y$における二次式の根は $$\displaystyle x_-(y)=\frac{y}{\sqrt3}-\sqrt{3-y^2},\qquad x_+(y)=\frac{y}{\sqrt3}+\sqrt{3-y^2}$$ である。$x\geq0$の部分が存在する高さは$-3/2\leq y\leq\sqrt3$であり、 $-3/2\leq y\leq3/2$では$x_-(y)\leq0\leq x_+(y)$、 $3/2\leq y\leq\sqrt3$では$0\leq x_-(y)\leq x_+(y)$となる。 したがって回転体の水平断面は、前者では半径$x_+(y)$の円盤、 後者では外半径$x_+(y)$、内半径$x_-(y)$の円環となる。 これにより断面全体を、重複なく数えられる。

よって断面積を高さについて積分すると $$\displaystyle V=\pi\int_{-3/2}^{3/2}x_+(y)^2\,dy +\pi\int_{3/2}^{\sqrt3}\{x_+(y)^2-x_-(y)^2\}\,dy.$$ 第1項では $$\displaystyle x_+(y)^2=3-\frac23y^2+\frac{2y}{\sqrt3}\sqrt{3-y^2}$$ の最後の項が奇関数なので、対称な区間での積分は0となる。したがって $$\displaystyle \pi\int_{-3/2}^{3/2}x_+(y)^2\,dy =\pi\left[3y-\frac{2y^3}{9}\right]_{-3/2}^{3/2} =\frac{15\pi}{2}.$$ 第2項は $$\displaystyle x_+(y)^2-x_-(y)^2=\frac{4y}{\sqrt3}\sqrt{3-y^2}$$ より、$u=3-y^2$と置換して $$\displaystyle \begin{aligned} \pi\int_{3/2}^{\sqrt3}\{x_+^2-x_-^2\}\,dy &=\frac{4\pi}{\sqrt3}\int_{3/2}^{\sqrt3}y\sqrt{3-y^2}\,dy\\ &=\frac{4\pi}{3\sqrt3}\left(3-\frac94\right)^{3/2} =\frac\pi2. \end{aligned}$$ 従って求める体積は $$\displaystyle \boxed{V=\frac{15\pi}{2}+\frac\pi2=8\pi}.$$

最終答案

$$\boxed{\text{(1) }x\text{軸との交点 }(\pm\sqrt3,0),\quad y\text{軸との交点 }(0,\pm3/2);\ \text{概形は上図}}$$ $$\boxed{\text{(2) 面積 }3\pi}\qquad\boxed{\text{(3) 体積 }8\pi}$$

**使用解法**：媒介変数から上下の関数表示、微分による概形確認、定積分による面積、円盤・円環の水平断面積による体積。