III日本医科大学 2024年 数学 第III問解答・解説

問1 部分積分法を用いると $$\displaystyle \int e^{-ax}\sin x\,dx =\frac{e^{-ax}(-a\sin x-\cos x)}{a^2+1}.$$ したがって $$\displaystyle K(a)=\left[\frac{e^{-ax}(-a\sin x-\cos x)}{a^2+1}\right]_0^\pi =\frac{1+e^{-a\pi}}{a^2+1}.$$

問2 $t=b/n$ とみれば $$\displaystyle n\left(1-e^{-b/n}\right) =b\,\frac{1-e^{-b/n}}{b/n}\longrightarrow b$$ である。ここで $\displaystyle \lim\limits _{t\to0}(1-e^{-t})/t=1$ を用いた。

問3 $x=n\pi+t$ と置換すると $$\displaystyle I_n=e^{-n\pi}\int_0^\pi e^{-t}|\sin(nt)|\,dt.$$ さらに各 $j=0,1,\ldots,n-1$ について区間 $[j\pi/n,(j+1)\pi/n]$ で $t=j\pi/n+u/n$ と置換する。このとき $0\leq u\leq\pi$、$|\sin(nt)|=\sin u$ であり、 $$\displaystyle \int_{j\pi/n}^{(j+1)\pi/n}e^{-t}|\sin(nt)|\,dt =\frac1n e^{-j\pi/n}K\left(\frac1n\right).$$ 従って等比数列の和と問1の結果から $$\displaystyle \begin{aligned} I_n &=\frac{e^{-n\pi}}{n}K\left(\frac1n\right) \frac{1-e^{-\pi}}{1-e^{-\pi/n}}\\ &=\frac{e^{-n\pi}(1+e^{-\pi/n})(1-e^{-\pi})} {n(1+n^{-2})(1-e^{-\pi/n})}. \end{aligned}$$

問4 $x=n\pi+t$ と置換すると $$\displaystyle e^{n\pi}J_n =\int_0^\pi\frac{|\sin(nt)|}{e^t+e^{-n\pi}|\cos(nt)|}\,dt.$$ 区間を $n$ 等分し、各区間で $t=j\pi/n+u/n$ と置換すると $$\displaystyle e^{n\pi}J_n =\frac1n\sum\limits _{j=0}^{n-1}e^{-\pi j/n} \int_0^\pi \frac{\sin u}{e^{u/n}+e^{-n\pi-\pi j/n}|\cos u|}\,du.$$ 内側の分母はすべての $j,u$ について $$1\leq e^{u/n}+e^{-n\pi-\pi j/n}|\cos u| \leq e^{\pi/n}+e^{-n\pi}$$ を満たす。そのため内側の積分は $n\to\infty$ で $\displaystyle 2=\int_0^\pi\sin u\,du$ に一様に収束する。従ってリーマン和の極限から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}e^{n\pi}J_n =2\int_0^1e^{-\pi s}\,ds =\frac{2(1-e^{-\pi})}{\pi}.$$