4徳島大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $u=x+2y,\ v=2x+y$ と置く。この変換は逆変換 $\displaystyle x=\frac{-u+2v}{3},\ y=\frac{2u-v}{3}$ をもつ。恒等式 $\displaystyle |u|+|v|=\max(|u+v|,|u-v|)$ を示す。実際、右辺の二乗は $u^2+v^2+2|uv|=(|u|+|v|)^2$ であり、両辺は0以上である。よって $|u|+|v|\le1$ は $|u+v|\le1$ かつ $|u-v|\le1$ と同値。$u+v=3(x+y),\ u-v=y-x$ なので、$D$は $\displaystyle |x+y|\le\frac13,\ |x-y|\le1$ の共通部分である。境界直線の交点を解くと、頂点は順に $\displaystyle A(-\frac23,\frac13),\ B(-\frac13,\frac23),\ C(\frac23,-\frac13),\ E(\frac13,-\frac23)$。この順に結び、境界を含む平行四辺形を図示すればよい。

(2) $u=x+2y$ とすると、領域条件 $|u|+|v|\le1$ から $-1\le u\le1$。$(u,v)=(1,0)$ と $(u,v)=(-1,0)$ はどちらも条件を満たすので、最大値$1$、最小値$-1$はいずれも達成される。逆変換から達成点は、それぞれ $\displaystyle (x,y)=(-\frac13,\frac23),(\frac13,-\frac23)$。

(3) 逆変換を使い、三角不等式を適用すると、$\displaystyle |x|+|2y|=\frac{|2v-u|+2|2u-v|}{3}\le\frac{5|u|+4|v|}{3}\le\frac{5(|u|+|v|)}{3}\le\frac53$。$(u,v)=(\pm1,0)$ では等号が成り立ち、達成点は(2)の2点である。一方、絶対値の和は$0$以上であり、原点はDに含まれて値$0$をとる。よって最小値は$0$。