2徳島大学 2007年 数学 第2問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1) 数学C「行列」：数学的帰納法と単位行列の性質を用いる。テーマは平方が零行列となる行列を含む行列の累乗。

(2) 数学C「行列」：成分を計算して $a$ を決め、(1)の公式に代入する。テーマは零平方行列を使った累乗計算。

(1) $A=aE+B$、$B^2=O$ とする。$n=1$ では $A=aE+B$ であり、右辺の $a^0$ は係数として $1$ を表すから、式は成り立つ。$n$ で $$A^n=a^nE+na^{n-1}B$$ が成り立つと仮定する。$E$ は単位行列なので $EB=BE=B$、また $B^2=O$ より $$\begin{aligned} A^{n+1} &=A^nA\\ &=(a^nE+na^{n-1}B)(aE+B)\\ &=a^{n+1}E+a^nB+na^nB+na^{n-1}B^2\\ &=a^{n+1}E+(n+1)a^nB. \end{aligned}$$ したがって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で $$A^n=a^nE+na^{n-1}B$$ が成り立つ。

(2) $E$ を3次単位行列として、 $$A-aE= \begin{pmatrix} 3-a&1&1\\ -1&1-a&-1\\ 0&0&2-a \end{pmatrix}.$$ その右下成分を二乗計算で見ると $(A-aE)^2$ の $(3,3)$ 成分は $(2-a)^2$ である。これが $0$ となるには $a=2$ でなければならない。実際、 $$B=A-2E= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ -1&-1&-1\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\qquad B^2= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$ よって (1) を $a=2$、$B=A-2E$ に適用して $$\begin{aligned} A^n &=2^nE+n2^{n-1}(A-2E)\\ &= \begin{pmatrix} 2^n+n2^{n-1}&n2^{n-1}&n2^{n-1}\\ -n2^{n-1}&2^n-n2^{n-1}&-n2^{n-1}\\ 0&0&2^n \end{pmatrix}\\ &=2^{n-1} \begin{pmatrix} n+2&n&n\\ -n&2-n&-n\\ 0&0&2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$ 確認として $n=1$ を代入すると、与えられた行列 $A$ に戻る。