広島大学 2007年数学第1問解答・解説

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1問題

広島大学2007年度第1問

$a,b,c,d$ は $a+c=b+d=1$ を満たす正の定数とし，行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ を考える。さらに， $x_1+y_1=1$ を満たす実数 $x_1,y_1$ に対し， $x_n,y_n$ （ $n=2,3,4,\ldots$ ）を漸化式 $\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_{n-1}\\y_{n-1}\end{pmatrix}$ によって帰納的に定める。このとき，次の問いに答えよ。

(1)　 $x_n+y_n=1\quad(n=1,2,3,\ldots)$ であることを示せ。

(2)　 $x_n$ をまず $a,b,x_{n-1}$ で表し，次に $a,b,x_1$ で表せ。

※　 $x_n$ を表すとき，必要ならば $n$ も使ってよい。

(3)　極限値 $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}x_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad x_n+y_n=1\quad$ for all $\quad n\ge1\quad$ . (2) $\quad x_n=(a-b)x_{n-1}+b\quad$ ; $\displaystyle \quad x_n=(a-b)^{n-1}x_1+\frac{b(1-(a-b)^{n-1})}{1-a+b}\quad$ . (3) $\displaystyle \quad \lim\limits _{n\to\infty}x_n=b/(1-a+b)=b/(b+c)\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

初期条件で和は1。漸化式の成分を足すと $x_n+y_n=(a+c)x_{n-1}+(b+d)y_{n-1}=x_{n-1}+y_{n-1},$ したがって帰納法で全ての $n\ge1$ に対して和は1。

$y_{n-1}=1-x_{n-1}$ を第1成分の式に代入すれば $x_n=(a-b)x_{n-1}+b$ 。 $r=a-b$ と置き、有限等比和を使うと $\displaystyle x_n=r^{n-1}x_1+b(1+r+\cdots+r^{n-2})=r^{n-1}x_1+b\frac{1-r^{n-1}}{1-r}.$ ここで $1-r=1-a+b=b+c>0$ より与式の形を得る。

$a+c=1$ , $b+d=1$ と正値性から $0<a,b<1$ 、よって $|a-b|<1$ 。従って $(a-b)^{n-1}\to0$ であり、極限は $b/(1-a+b)=b/(b+c)$ 。

この問題で使う考え方

数学的帰納法
一次漸化式
有限等比和

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