5広島大学 2007年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\ O\text{が辺 }BC\text{ 上にあるのは、}BC\text{ が直径となるときである。選ばれる目盛りは }1\text{ から }2n-1\text{ までなので、該当する組は }\{k,k+n\}\ (k=1,2,\ldots,n-1)\text{ であり、}\ n-1\text{ 通り。}\quad \text{(2)}\ O\text{が辺 }AB\text{または }AC\text{上にあるのは、目盛り }n\text{の点が選ばれたときである。その組は }2n-2\text{ 通りある。辺 }BC\text{ 上にある組は (1) の }n-1\text{ 通りであり、両者は重ならない。実際、目盛り }n\text{の点の対蹠点は }0\text{で、これは選ばれない。したがって、辺上に }O\text{がある組は }3n-3\text{ 通り。全事象は }\binom{2n-1}{2}\text{ 通りだから、求める確率は }\frac{3n-3}{\binom{2n-1}{2}}=\frac{3}{2n-1}.\quad \text{(3)}\ C\text{の目盛りを }i\text{、}B\text{の目盛りを }j\text{とすると、}1\le i<j\le 2n-1\text{である。円周角の定理より、}\angle A=\frac{\pi(j-i)}{2n},\quad \angle B=\frac{\pi i}{2n},\quad \angle C=\frac{\pi(2n-j)}{2n}.\text{外心 }O\text{が三角形の内部にあることと三角形が鋭角三角形であることは同値なので、}O\text{が内部にある条件は }i<n,\ j-i<n,\ j>n\text{である。ここで }j=n+k\ (1\le k\le n-1)\text{とおくと、条件は }2\le i\le n-1,\ 1\le k\le i-1\text{となる。よって該当する組数は }\sum\limits _{i=2}^{n-1}(i-1)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\text{。全事象数 }\binom{2n-1}{2}=(n-1)(2n-1)\text{で割ると、確率は }\frac{(n-1)(n-2)/2}{(n-1)(2n-1)}=\frac{n-2}{2(2n-1)}\text{となる。}\quad \text{(4)}\ X\text{の期待値は、各値とその確率の積の和である。したがって }E(X)=1\cdot\frac{3}{2n-1}+2\cdot\frac{n-2}{2(2n-1)}+0\cdot\left(1-\frac{3}{2n-1}-\frac{n-2}{2(2n-1)}\right)=\frac{n+1}{2n-1}.$$