4広島大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $\sin\alpha=a/\sqrt{a^2+b^2}$より $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\beta =\cos\left(\frac\pi2-\beta\right).$$ $0<\alpha<\pi/2$、$0<\pi/2-\beta<\pi/2$で、cosはこの範囲で単調減少するから $\alpha+\beta=\pi/2$。 (2) 二つの楕円の式を引くと $$\displaystyle \left(\frac1{a^2}-\frac1{b^2}\right)(x^2-y^2)=0.$$ $a>b$なので$x^2=y^2$、第1象限では$x=y$。楕円の式に代入して $$\displaystyle x^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2},$$ ゆえに交点は$(ab/\sqrt{a^2+b^2},ab/\sqrt{a^2+b^2})$。 (3) この交点のx座標を$c=ab/\sqrt{a^2+b^2}$とする。第1象限の上端は $$y_A=b\sqrt{1-x^2/a^2},\qquad y_B=a\sqrt{1-x^2/b^2}.$$ $y_A^2-y_B^2=(a^2-b^2)((a^2+b^2)x^2/(a^2b^2)-1)$より、$0\le x\le c$ではA側、$c\le x\le b$ではB側が下端となる。したがって $$\displaystyle S=\int_0^c y_A\,dx+\int_c^b y_B\,dx.$$ 第1積分で$x=a\sin t$、第2積分で$x=b\sin t$と置くと、それぞれ $$\displaystyle \frac{ab}{2}(\beta+\sin\beta\cos\beta),\qquad \frac{ab}{2}(\beta-\sin\beta\cos\beta).$$ 足し合わせて$S=ab\beta$。