広島大学 2007年数学第2問解答・解説

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1問題

広島大学2007年度第2問

座標空間の2点 $A(2,0,0),B(0,-1,0)$ および $\vec{u}=(-1,2,5),\qquad\vec{v}=(1,1,1),\qquad\vec{w}=(-1,3,1)$ と成分表示される3つのベクトルがある。次の問いに答えよ。

(1)　 $\overrightarrow{AP}$ と $\vec{u}$ が平行かつ $\overrightarrow{BP}$ と $\vec{v}$ が平行となるような点 $P$ の座標を求めよ。

(2)　上で求めた点 $P$ に対し， $\overrightarrow{CP}$ と $\vec{w}$ が直交するような点 $C(0,0,c)$ を求めよ。

(3)　上で求めた点 $P$ と $C$ に対し， $P$ は3点 $A,B,C$ の定める平面上にあることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle P=(\frac53,\frac23,\frac53)$ 。 (2) $c=2$ 、したがって $C=(0,0,2)$ 。 (3) $\displaystyle \overrightarrow{AP}=-\frac23\overrightarrow{AB}+\frac56\overrightarrow{AC}$ であるから、 $P$ は平面 $ABC$ 上にある。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 平行条件から $\overrightarrow{AP}=s\boldsymbol u$ 、 $\overrightarrow{BP}=t\boldsymbol v$ とおくと $P=(2-s,2s,5s)=(t,t-1,t).$ 第1、第3成分より $2-s=t=5s$ 、従って $s=1/3,t=5/3$ 。第2成分も $2s=t-1=2/3$ を満たす。よって $\boxed{P=(5/3,2/3,5/3)}.$

(2) $C=(0,0,c)$ より $\overrightarrow{CP}=(5/3,2/3,5/3-c)$ 。垂直条件は $\overrightarrow{CP}\cdot(-1,3,1)=-5/3+2+5/3-c=2-c=0.$ 従って $\boxed{C=(0,0,2)}$ 。

(3) $\overrightarrow{AB}=(-2,-1,0)$ 、 $\overrightarrow{AC}=(-2,0,2)$ だから $\displaystyle -\frac23\overrightarrow{AB}+\frac56\overrightarrow{AC}=(-1/3,2/3,5/3)=\overrightarrow{AP}.$ $\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AC}$ は平行でない。平面上の二つの方向ベクトルの定数倍の和で $\overrightarrow{AP}$ を表せたので、 $P$ は平面 $ABC$ 上にある。

この問題で使う考え方

平行条件の成分表示
内積の直交条件
平面のベクトル表示

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