3広島大学 2007年 数学 第3問解答・解説

・ $8\sqrt7+21=\sqrt7(3\sqrt7+8)$ より $f(\sqrt7)=\sqrt7$。

・ $x\ge0$ なら $3x+8>0$ で、 $$\displaystyle f(x)-2=\frac{2x+5}{3x+8}>0.$$

・ $$\displaystyle f(x)-f(y)=\frac{x-y}{(3x+8)(3y+8)}.$$ $x,y\ge2$ なら分母は $14^2=196$ 以上だから、絶対値は $|x-y|/196\le|x-y|/100$。

・ $x\ge2$ では $f(x)\ge2$、また $\sqrt7\ge2$。従って(3)を $(x,\sqrt7)$ と $(f(x),\sqrt7)$ に順に適用すると $$\displaystyle |f(f(x))-\sqrt7|\le\frac{|f(x)-\sqrt7|}{100}\le\frac{|x-\sqrt7|}{10000}.$$ $x=2$ とすれば $r=f(f(2))=f(37/14)=590/223$。$|2-\sqrt7|<1$ より $|r-\sqrt7|<10^{-4}$。

(1)は8√7+21=√7(3√7+8)。(2) f(x)−2=(2x+5)/(3x+8)>0。(3) 差は (x−y)/((3x+8)(3y+8)) で、x,y≧2なら分母は各因子14以上なので絶対値は|x−y|/196以下、したがって要求を満たす。(4) √7≧2かつ f(x)≧2 なので(3)を2回適用し、係数1/10000を得る。x=2と置けばr=f(f(2))=590/223、また|2−√7|<1より|r−√7|<10^{-4}。