8長崎大学 2009年 数学 第8問解答・解説

(1) $x>0$ より $x^{-1}>0$ であり，条件(a)を $x$ と $x^{-1}$ に適用すると $$\displaystyle f(1)=f(x)+f\left(\frac1x\right).$$ また $f(1)=f(1\cdot1)=2f(1)$ だから $f(1)=0$。したがって $$\displaystyle f(x)+f\left(\frac1x\right)=0.$$

(2) $\displaystyle a=\frac mn>1$ と表す。ただし $m,n$ は正の整数で $m>n$ とする。条件(a)より $$\displaystyle f(m)=f\left(\frac mn\cdot n\right)=f(a)+f(n), \qquad f(a)=f(m)-f(n).$$ 条件(b)を $n,n+1,\ldots,m-1$ に順に用いると $$f(n)<f(n+1)<\cdots<f(m)$$ なので $f(a)>0$ である。

(3) $\displaystyle c=\frac ba$ とおくと，$a,b$ は正の有理数で $a<b$ だから，$c$ は $1$ より大きい有理数である。(2)より $f(c)>0$。条件(a)から $$f(b)=f(ac)=f(a)+f(c)>f(a).$$

(4) まず，(3)と連続性から 正の実数 $u,v$ が $u<v$ を満たすとき $f(u)<f(v)$ であることを示す。任意の実数 $0<u<v$ に対し，有理数 $r,s$ を $$u<r<s<v$$ となるように選ぶ。どの実数にもその両側から有理数をいくらでも近づけられるので，$u$ の右側から $r$ 未満に近づく有理数列 $u_k$ と，$v$ の左側から $s$ より大きく近づく有理数列 $v_k$ がとれる。(3)より $f(u_k)<f(r)$ および $f(s)<f(v_k)$。連続性を用いて極限をとれば $$f(u)\le f(r)<f(s)\le f(v),$$ したがって $f(u)<f(v)$ となる。

次に $\displaystyle p=\frac{x+y}{2}$，$q=\sqrt{xy}$ とおく。$x,y>0$ なので $p,q>0$ であり， $$\displaystyle p-q=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}\ge0.$$ よって今示した増加の性質から $f(p)\ge f(q)$（$x=y$ のとき等号，$x\ne y$ のとき不等号は厳密）である。さらに $q^2=xy$ と条件(a)より $$2f(q)=f(q^2)=f(xy)=f(x)+f(y).$$ 従って $$\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(p)\ge f(q)=\frac{f(x)+f(y)}2.$$ $x=y$ のとき等号が成り立つ。