4長崎大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) 加法定理より $$r\sin(2x+\alpha)=r\cos\alpha\sin2x+r\sin\alpha\cos2x.$$ これを $f(x)=\sin2x+2\sqrt2\cos2x$ と係数比較して $$r\cos\alpha=1,\qquad r\sin\alpha=2\sqrt2.$$ したがって $r^2=1^2+(2\sqrt2)^2=9$ であり、$r>0$ より $r=3$。よって $$\displaystyle \cos\alpha=\frac13,\qquad \sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

(2) $f(x)=3\sin(2x+\alpha)$ なので最大値は $3$、最小値は $-3$ である。$\theta=2x+\alpha$ とおくと、最大時は $\sin\theta=1,\cos\theta=0$、最小時は $\sin\theta=-1,\cos\theta=0$。 差角の公式から $$\sin2x=\sin(\theta-\alpha)=\sin\theta\cos\alpha-\cos\theta\sin\alpha, \quad \cos2x=\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha.$$ よって $$\displaystyle \begin{array}{c|cc} &\sin2x&\cos2x\\ \hline f(x)\text{ が最大}&\frac13&\frac{2\sqrt2}{3}\\ f(x)\text{ が最小}&-\frac13&-\frac{2\sqrt2}{3} \end{array}$$ を得る。

(3) 二倍角の公式より $$\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}.$$ 最大時は $$\displaystyle \sin^2x=\frac{3-2\sqrt2}{6}=\frac{(\sqrt2-1)^2}{6},\quad \cos^2x=\frac{3+2\sqrt2}{6}=\frac{(\sqrt2+1)^2}{6},\quad \sin x\cos x=\frac16>0.$$ 従って $\sin x,\cos x$ は同符号であり、全ての組は $$\displaystyle (\sin x,\cos x)=\pm\left(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt6},\frac{\sqrt2+1}{\sqrt6}\right).$$ 最小時は $$\displaystyle \sin^2x=\frac{3+2\sqrt2}{6}=\frac{(\sqrt2+1)^2}{6},\quad \cos^2x=\frac{3-2\sqrt2}{6}=\frac{(\sqrt2-1)^2}{6},\quad \sin x\cos x=-\frac16<0.$$ 従って $\sin x,\cos x$ は異符号であり、全ての組は $$\displaystyle (\sin x,\cos x)=\pm\left(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt6},-\frac{\sqrt2-1}{\sqrt6}\right).$$ 各組は二倍角の公式に代入すると(2)の組に戻るので、符号の選び方も必要十分である。