7長崎大学 2009年 数学 第7問解答・解説

点Aは中心Oからの距離が2であり、OAと正のx軸との角が$\theta$なので $$A=(2\cos\theta,\,2\sin\theta)$$ である。$\boldsymbol e_r=(\cos\theta,\sin\theta)$、$\boldsymbol e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)$とおく。

円$S_2$と$S_1$の現在の接点をTとすると、$\overrightarrow{AT}=-\boldsymbol e_r$。点Aの速度は$2\dot\theta\boldsymbol e_\theta$である。円$S_2$の回転角を初期状態から反時計回りに$\varphi$とすると、接点Tの回転による速度成分は$-\dot\varphi\boldsymbol e_\theta$となる。すべることがないから接点の速度は0であり、 $$2\dot\theta-\dot\varphi=0.$$ 初期値$\varphi=0$より$\varphi=2\theta$。点Pは初め$\overrightarrow{AP}=(-1,0)$であるから、回転後は $$\overrightarrow{AP}=(-\cos2\theta,\,-\sin2\theta).$$ よって $$\boxed{x(\theta)=2\cos\theta-\cos2\theta,\qquad y(\theta)=2\sin\theta-\sin2\theta.}$$ $\theta=0$では$P=(1,0)$、$\theta=2\pi$でも$P=(1,0)$となり、出発点に戻る条件に合う。

(2) $0\leq\theta\leq2\pi$に対し、 $$x(2\pi-\theta)=2\cos\theta-\cos2\theta=x(\theta),\qquad y(2\pi-\theta)=-2\sin\theta+\sin2\theta=-y(\theta).$$ したがって、曲線上の点$(x(\theta),y(\theta))$に対し、同じ曲線上にそのx軸対称点$(x(\theta),-y(\theta))=(x(2\pi-\theta),y(2\pi-\theta))$がある。ゆえにCはx軸に関して対称である。

(3) まず $$r^2=x(\theta)^2+y(\theta)^2=5-4\cos\theta\geq1$$ であり、等号は$\theta=0,2\pi$のときに限る。ただし、この不等式だけでは曲線Cが単純に一周することまでは分からないので、偏角を調べる。三角関数の加法定理から $$x+i y=(\cos\theta+i\sin\theta)(2-\cos\theta-i\sin\theta)$$ と因数分解できる。第2因子の実部は$2-\cos\theta\geq1$なので、その偏角$\alpha(\theta)$は$-\pi/2<\alpha(\theta)<\pi/2$の範囲で連続に定められ、$\alpha(0)=\alpha(2\pi)=0$である。従ってCの連続偏角を $$\phi(\theta)=\theta+\alpha(\theta)$$ とおくと、$\phi(0)=0,\ \phi(2\pi)=2\pi$となる。

極座標$x=r\cos\phi,\ y=r\sin\phi$を微分すると$xy'-yx'=r^2\phi'$である。ここで $$x'=-2\sin\theta+2\sin2\theta,\qquad y'=2\cos\theta-2\cos2\theta,$$ だから $$\displaystyle xy'-yx'=6(1-\cos\theta),\qquad \phi'=\frac{6(1-\cos\theta)}{5-4\cos\theta}>0\quad(0<\theta<2\pi).$$ よって$\phi$は0から$2\pi$まで一度だけ増加し、θ=0と2πの始点・終点だけが一致し、それ以外の異なるθではC上の点は重ならない。したがってCは単純閉曲線である。各方向の境界半径は$r=\sqrt{5-4\cos\theta}\geq1$なので、単位円板はCが囲む領域に含まれ、Cとの共通点は$(1,0)$である。

各小区間で原点と連続する境界点を結んだ三角形に分けると、その面積和は細分を細かくする極限で$\displaystyle \frac12\int r^2\,d\phi$となる（微小な偏角$\Delta\phi$に対する三角形面積が$\displaystyle \frac12r^2\Delta\phi$に近づくため）。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \text{Cの内部の面積} &=\frac12\int_0^{2\pi}r^2\,d\phi =\frac12\int_0^{2\pi}(xy'-yx')\,d\theta\\ &=\frac12\int_0^{2\pi}6(1-\cos\theta)\,d\theta=6\pi. \end{aligned}$$ 円$S_1$の面積は$\pi$なので、求める面積は $$\boxed{6\pi-\pi=5\pi.}$$