3浜松医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) すべらずに角 $\theta$ だけ回転する半径1の円の中心は $\theta$ だけ進む。接点Aは円の中心の真下だから $$\boxed{OA=\theta}.$$

(2) 回転後の中心は $(\theta,1)$。初期の中心からPへのベクトル $(0,-1)$ を時計回りに $\theta$ 回すと $(-\sin\theta,-\cos\theta)$ なので $$\boxed{x=\theta-\sin\theta},\qquad \boxed{y=1-\cos\theta}.$$

(3) $\displaystyle y=\frac12$ との交点は $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ より $\displaystyle \theta=\frac\pi3,\frac{5\pi}{3}$。この間は曲線が直線の上にあり、$dx/d\theta=1-\cos\theta\geq0$。よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{\pi/3}^{5\pi/3}\left(y-\frac12\right)\frac{dx}{d\theta}\,d\theta\\ &=\int_{\pi/3}^{5\pi/3}\left(\frac12-\cos\theta\right)(1-\cos\theta)\,d\theta\\ &=\int_{\pi/3}^{5\pi/3}\left(\frac12-\frac32\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta\\ &=\frac{4\pi}{3}+\frac{5\sqrt3}{4}. \end{aligned}$$ 従って求める面積は $\displaystyle \boxed{\frac{4\pi}{3}+\frac{5\sqrt3}{4}}$。

分類・原文状態 単元：数学II「三角関数」、数学III「積分法（媒介変数と面積）」。方法：無滑り条件による中心移動、回転ベクトル、媒介変数面積積分。テーマ：サイクロイドと水平線で囲まれる面積。