2浜松医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

面が出た回数を $h$、裏が出た回数を $t$ とすると、その時点の長方形の縦と横の長さはそれぞれ $2^h$、$1+2t$ である。したがって面積は $$A=2^h(1+2t).$$ 各回の面積は必ず増加する。

(1) $80=2^4\cdot5=2^4(1+2\cdot2)$ だから、面積が80になるのは表4回、裏2回のときである。その時点は6回目で、6は偶数なので最後に投げるのは後攻である。表4回・裏2回の6回の列は $\displaystyle \binom64=15$ 通りあり、各列の確率は $2^{-6}$ である。いずれもそれ以前は面積が80未満なので、後攻の勝つ確率は $$\displaystyle \binom64\frac1{2^6}=\boxed{\frac{15}{64}}.$$

(2) $40=2^3\cdot5=2^3(1+2\cdot2)$ だから、面積が40になるのは表3回、裏2回のときであり、その時点は5回目である。最後に投げるのは先攻なので、後攻が勝つ確率は $\boxed{0}$。

(3) 任意の $k\ge2$ を、奇数 $q$ を用いて $k=2^h q$ と一意に表す。さらに $q=1+2t$ とおくと、$h,t$ は一意な非負整数であり、表が $h$ 回、裏が $t$ 回出た時点で面積はちょうど $$2^h(1+2t)=k$$ となる。そのようなコイン列は $h+t$ 回目までの列のうち表が $h$ 回出るものなので、個数は $\displaystyle \binom{h+t}{h}$、確率は $$\displaystyle \binom{h+t}{h}\frac1{2^{h+t}}>0.$$ 各操作で面積は増加するため、この列のどれも途中で $k$ を超えず、ちょうど $k$ に達する。また、面積がちょうど $k$ になるには $2$ の因数の指数が $h$、奇数因子が $q$ でなければならないので、表裏の回数はこの組 $(h,t)$ に限られる。したがって、勝者は常に $h+t$ 回目に投げる一方の者に定まり、その者の勝つ確率は正、もう一方の勝つ確率は $0$ である。