3大分大学 2021年 数学 第3問解答・解説

問題の図では，時計回りに進むと A,F,E,D,C,B,A の順に頂点を移る。時計回りを $+1$，反時計回りを $-1$，その場にとどまる場合を $0$ とする。各回の出目は独立で，全ての $n$ 回の出目列は $6^n$ 通り同様に確からしい。1回の移動が $+1,-1,0$ となる出目はそれぞれ $3,2,1$ 個である。

したがって，$n$ 回後の位置は，移動量の合計を $6$ で割った余りで決まる。

(1) 3回後の移動量の合計は $-3$ 以上 $3$ 以下である。頂点 $D$ は $A$ から3つ先なので，合計が $3$ または $-3$ のときに限る。前者は3回とも時計回りで $3^3$ 通り，後者は3回とも反時計回りで $2^3$ 通りである。よって $$\displaystyle P(D\text{ にいる})=\frac{3^3+2^3}{6^3}=\frac{35}{216}.$$

(2) 頂点 $E$ は $A$ から時計回りに2つ先である。4回の移動量の合計は $-4$ から $4$ までなので，$E$ にいるための合計は $2$ または $-4$ である。

合計が $2$ となるには，時計回りを $p$ 回，反時計回りを $m$ 回，停止を $s$ 回として $p-m=2$ および $p+m+s=4$ を満たす必要がある。組 $(p,m,s)$ は $(2,0,2)$ または $(3,1,0)$ であり，該当する出目列は $$\displaystyle \frac{4!}{2!0!2!}3^2+\frac{4!}{3!1!0!}3^3 2=54+216$$ 通りである。合計が $-4$ となるのは4回とも反時計回りの場合だけなので，$2^4$ 通りである。したがって $$\displaystyle P(E\text{ にいる})=\frac{54+216+2^4}{6^4} =\frac{286}{1296}=\frac{143}{648}.$$

(3) 6回後に頂点 $A$ にいるには，移動量の合計が $-6,0,6$ のいずれかである。合計が $6$ または $-6$ となる出目列は，それぞれ全て時計回りの $3^6$ 通り，全て反時計回りの $2^6$ 通りである。

合計が $0$ のとき，時計回りと反時計回りの回数は同じである。それぞれを $k$ 回とすると，$k=0,1,2,3$ について，停止を $6-2k$ 回含む並べ方と，各向きの出目の選び方から，出目列は $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{3}\frac{6!}{k!k!(6-2k)!}3^k2^k =1+180+3240+4320=7741$$ 通りとなる。したがって $$\displaystyle P(A\text{ にいる}) =\frac{3^6+2^6+7741}{6^6} =\frac{8534}{46656}=\frac{4267}{23328}.$$