2大分大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 三角形なので $\vec c\ne\vec 0$ であり、$|\vec c|>0$ である。したがって、$$\displaystyle \left|\frac{1}{|\vec c|}\vec c\right|=\frac{1}{|\vec c|}|\vec c|=1.$$

(2) $p=|\vec b|$, $q=|\vec c|$ とおき、$\displaystyle \vec e_b=\frac{\vec b}{p}$, $\displaystyle \vec e_c=\frac{\vec c}{q}$ とする。(1)と同様に $|\vec e_b|=|\vec e_c|=1$ である。$\vec u=\vec e_b+\vec e_c$ とおくと、これは $\angle CAB$ の二等分線の方向を表す。実際、$\vec u$ は二つの単位ベクトルの和なのでその間の方向を向き、$\vec u\cdot\vec e_b=\vec u\cdot\vec e_c$ であるから、両辺となす角は等しい。$\theta=\angle CAB$ とすると、$$|\vec u|^2=2(1+\cos\theta),\qquad \vec b\cdot\vec u=p(1+\cos\theta).$$ 三角形は退化していないので $0<\theta<\pi$ であり、$|\vec u|^2\ne0$ である。

$H$ の位置ベクトルを $t\vec u$ とおく。$BH$ は二等分線に垂直だから、$(t\vec u-\vec b)\cdot\vec u=0$ である。よって $\displaystyle t=\frac{\vec b\cdot\vec u}{|\vec u|^2}=\frac p2$ となり、$$\displaystyle \overrightarrow{AH}=\frac p2\vec u=\frac12\left(\vec b+\frac pq\vec c\right).$$ 同様に、$H'$ の位置ベクトルは $\displaystyle \frac q2\vec u$ であるから、$$\displaystyle \overrightarrow{AH'}=\frac q2\vec u=\frac12\left(\frac qp\vec b+\vec c\right).$$ したがって、$$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH'}&=(\overrightarrow{AH}-\vec b)+(\overrightarrow{AH'}-\vec c)\\&=\frac12\left(\left(\frac qp-1\right)\vec b+\left(\frac pq-1\right)\vec c\right)\\&=\frac{q-p}{2}\left(\frac{\vec b}{p}-\frac{\vec c}{q}\right)\\&=\frac{|\vec c|-|\vec b|}{2}\left(\frac{\vec b}{|\vec b|}-\frac{\vec c}{|\vec c|}\right).\end{aligned}$$

(3) 三角形が退化していないため、$\displaystyle \frac{\vec b}{|\vec b|}\ne\frac{\vec c}{|\vec c|}$ である。よって (2) のベクトルが $\vec 0$ となるのは $|\vec c|-|\vec b|=0$ のとき、かつそのときに限る。すなわち $AB=AC$ であり、$\triangle ABC$ は頂点 $A$ を頂角とする二等辺三角形である。逆に $AB=AC$ を (2) に代入すれば和は $\vec 0$ となるので、条件は必要十分である。