2昭和大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $|\vec b-\vec a|^2=3$から$4+5-2\vec a\cdot\vec b=3$、従って内積は3。 (2) $\overrightarrow{OH}=u\vec a+v\vec b$とする。$AH\perp OB$、$BH\perp OA$から $$3u+5v=3,\qquad4u+3v=3.$$ よって$u=6/11,v=3/11$、$\overrightarrow{OH}=(6\vec a+3\vec b)/11$。 (3) $OD$は$OH$と平行で、$D$は$AB$上なので$\overrightarrow{OD}=(2\vec a+\vec b)/3$。よって$AD=AB/3=\sqrt3/3$、 $$\displaystyle OD^2=\frac{4\cdot4+4\cdot3+5}{9}=\frac{11}3,\quad OD=\frac{\sqrt{33}}3.$$ (4) 三角形の面積は$\displaystyle \frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\sqrt{11}/2$。正弦定理（または$\Delta=abc/(4R)$）により $$\displaystyle R=\frac{2\sqrt5\sqrt3}{4(\sqrt{11}/2)}=\sqrt{\frac{15}{11}}=\frac{\sqrt{165}}{11}.$$ (5) $\overrightarrow{OG}=s\vec a+t\vec b$とおく。$GO=GA=GB$より$\overrightarrow{OG}\cdot\vec a=2$、$\overrightarrow{OG}\cdot\vec b=5/2$。従って $$4s+3t=2,\quad3s+5t=5/2,\quad s=5/22,t=4/11.$$ 答えは$\overrightarrow{OG}=(5\vec a+8\vec b)/22$。