4昭和大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) SHOWA の5文字はすべて異なるので，並べ方は $$5!=120$$ 通りである。

(2) HTTPSSHOWA の場合を考える。

(2-1) HTTPSSHOWA では，H，T，S がそれぞれ2個ずつあり，P，O，W，A は各1個である。したがって異なる順列の総数は $$\displaystyle \frac{10!}{2!2!2!}=453600$$ 通りである。

(2-2) SS と TT をそれぞれ1個のまとまりとみなす。残りの文字は H，H，P，O，W，A なので，全部で8個を並べ，Hの重複を除く。 $$\displaystyle \frac{8!}{2!}=20160$$ 通りである。

(2-3) SHSH というまとまりを作ると，SとHを2個ずつ使い切る。残る文字は T，T，P，O，W，A であるから，SHSHを含む順列は $$\displaystyle \frac{7!}{2!}=2520$$ 通りである。このまとまりはSとHをすべて使うため，1つの順列に2回以上現れることはない。よって，SHSHを含まない順列は $$453600-2520=451080$$ 通りである。

(2-4) STもTSも含まない順列を数えて全体から引く。まず，S，T以外の6文字 H，H，P，O，W，A を並べる方法は $$\displaystyle \frac{6!}{2!}=360$$ 通りである。並べた6文字の前後および間にできる7個の場所（すき間）に，Sを2個，Tを2個入れる。同じすき間にSとTの両方が入ると，そのすき間内でSTまたはTSが生じる。したがって，Sが入るすき間とTが入るすき間は互いに異なる必要がある。

Sの入るすき間が1個の場合は，その選び方が $7$ 通りであり，Tの入るすき間は残り6個から1個または2個を選ぶので $$\displaystyle 7\left(\binom61+\binom62\right)=147$$ 通りである。Sの入るすき間が2個の場合は，Sの入れ方が $\displaystyle \binom72$ 通りで，Tの入るすき間は残り5個から1個または2個を選ぶので $$\displaystyle \binom72\left(\binom51+\binom52\right)=315$$ 通りである。よってSTもTSも含まない順列は $$360(147+315)=166320$$ 通りであり，求める数は $$453600-166320=287280.$$ 最後に，STまたはTSを含む数と含まない数の和は $287280+166320=453600$ で，全順列数と一致する。