岐阜大学 2024年数学第1問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

岐阜大学2024年度第1問

a, b, c をそれぞれ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のうちいずれか 1 つの数とする。ただし、a, b, c のうち、等しい数があってもよいこととする。以下の問に答えよ。

(1) (b-a)(c-b)(a-c) ≠ 0 を満たす (a, b, c) は何通りあるか。

(2) (b-a)(c-b) > 0 を満たす (a, b, c) は何通りあるか。

(3) (b-a)(c-b) < 0 を満たす (a, b, c) は何通りあるか。

(4) (b-a)(c-b)(a-c) > 0 を満たす (a, b, c) は何通りあるか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各小問の差の符号条件を順序条件に直し、順列・組合せと積の法則・和の法則で数え上げる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $210,\quad$ (2) $70,\quad$ (3) $182,\quad$ (4) 105

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned} (1)\;&(b-a)(c-b)(a-c)\ne0\ \quad\text{すなわち}\quad\ a,b,c\text{ は相異なる},\\ &7\cdot6\cdot5=210.\\ (2)\;&(b-a)(c-b)>0\ \quad\text{すなわち}\quad\ a<b<c\text{ または }a>b>c,\\ &2\binom{7}{3}=70.\\ (3)\;&b\text{ が最大または最小である。}\\ &\sum\limits _{b=1}^{7}\bigl((b-1)^2+(7-b)^2\bigr) =2\sum\limits _{j=0}^{6}j^2=2\cdot91=182.\\ (4)\;&x<y<z\text{ を選ぶと、正となる順序は }(a,b,c)=(x,z,y),(y,x,z),(z,y,x),\\ &3\binom{7}{3}=105. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

和の法則
積の法則
順列
組合せ

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