4岐阜大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) 積と対数を微分すると $$f'(x)=2x-2\log x-2.$$

(2) さらに $$\displaystyle f''(x)=2-\frac2x=\frac{2(x-1)}x.$$ 定義域は $x>0$ なので、$f''(x)<0$ は $0<x<1$、$f''(x)>0$ は $x>1$。凹凸が $x=1$ で変わり、$f(1)=1-1-0=0$ より変曲点は $$\boxed{(1,0)}.$$

(3) $\log x\le x-1$ より $$f'(x)=2(x-1-\log x)\ge0,$$ 等号は $x=1$ のときだけである。したがって $f$ は増加し、$f(1)=0$ から $1/2\le x<1$ では $f(x)<0$、$1<x\le2$ では $f(x)>0$。原始関数として $$\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x-x^2\log x$$ をとると、面積は $$\displaystyle S=-\int_{1/2}^{1}f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx =F(1/2)-2F(1)+F(2).$$ ここで $\displaystyle F(1/2)=-\frac13+\frac14\log2$、$\displaystyle F(1)=-\frac16$、$\displaystyle F(2)=\frac83-4\log2$ だから $$\displaystyle \boxed{S=\frac83-\frac{15}{4}\log2}.$$