5岐阜大学 2024年 数学 第5問解答・解説

初期値は $z_1=1+i$ なので $$\displaystyle z_1=\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right), \quad |z_1|=\sqrt2,\quad \theta_1=\frac\pi4.$$ 漸化式を複素数でまとめると $$\displaystyle z_{n+1}=\left(\frac{\sqrt3}{4}+\frac{i}{4}\right)z_n.$$ ここで $$\displaystyle q=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{i}{4} =\frac12\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)$$ だから $r=1/2,\ \theta=\pi/6$ である。積の形から $$\displaystyle z_n=z_1q^{n-1} =\frac{\sqrt2}{2^{n-1}} \left\{\cos\left(\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}{6}\right) +i\sin\left(\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}{6}\right)\right\}.$$ したがって $$\displaystyle a_n=\frac{\sqrt2}{2^{n-1}}\cos\left(\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}{6}\right),\qquad b_n=\frac{\sqrt2}{2^{n-1}}\sin\left(\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}{6}\right).$$ $a_n=b_n$ となるのは、位相 $\displaystyle \phi_n=\frac\pi4+\frac{(n-1)\pi}{6}$ が $\displaystyle \frac\pi4+\ell\pi$（$\ell=0,1,2,\ldots$）となるときである。よって小さい順に $m(k)=6(k-1)+1=6k-5$。このとき $$\displaystyle a_{m(k)}=\frac{\sqrt2}{2^{6k-6}}\cos\left(\frac\pi4+(k-1)\pi\right) =\frac{(-1)^{k-1}}{2^{6k-6}}.$$