岐阜大学 2024年数学第2問解答・解説

数と式指数関数・対数関数数列

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1問題

岐阜大学2024年度第2問

n を自然数、x, y を正の実数とする。以下の問に答えよ。ただし、必要ならば 0.301 < log_10 2 < 0.302, 0.477 < log_10 3 < 0.478 を用いてよい。

(1) 相加平均と相乗平均の関係 √(xy) ≦ (x+y)/2 が成り立つことを示せ。

(2) 1/2 (log_10 x + log_10 y) ≦ log_10 ((x+y)/2) が成り立つことを示せ。

(3) k を k ≦ n を満たす自然数とする。1/2 (log_10 k + log_10 (n+1-k)) ≦ log_10 ((n+1)/2) が成り立つことを示せ。

(4) log_10 (n!) ≦ n log_10 ((n+1)/2) が成り立つことを示せ。

(5) 2024! の桁数は 6100 以下であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle \sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}$ (等号 $x=y$ )
(2)
$\displaystyle \frac{\log_{10}x+\log_{10}y}{2}\leq\log_{10}\frac{x+y}{2}$
(3)
$\displaystyle \frac{\log_{10}k+\log_{10}(n+1-k)}{2}\leq\log_{10}\frac{n+1}{2}$
(4)
$\displaystyle \log_{10}(n!)\leq n\log_{10}\frac{n+1}{2}$
(5)
$\log_{10}(2024!)<6090.216<6100$ ; $\text{digits}(2024!)\leq6100$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq0$ を展開する。(2)正の常用対数の単調性と $\displaystyle \log\sqrt{xy}=\frac12(\log x+\log y)$ を用いる。(3) $x=k,\quad y=n+1-k$ とおくと両方正で和は $n+1$ 。(4) (3)を $k=1,\ldots,n$ で加える。 $n+1-k$ は $n,\ldots,1$ を並べ替えるので左辺は $\log(n!)$ となる。(5) $2025=3^4\cdot5^2$ と $\log5=1-\log2$ から $\displaystyle \log\frac{2025}{2}=4\log3+2-3\log2<3.009$ 。よって $\log(2024!)\leq2024\cdot3.009=6090.216<6100$ 。従って $2024!<10^{6100}$ なのでその桁数は $6100$ 以下。

この問題で使う考え方

平方差による相加相乗平均の証明
対数関数の単調性と積の対数
不等式の有限和
与えられた常用対数の評価
対数から整数の桁数を判定

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