8長崎大学 2022年 数学 第8問解答・解説

(1) 部分積分により $$\displaystyle I_1=\int_1^e\log x\,dx=[x\log x-x]_1^e=1.$$ また、任意の自然数 $n$ に対して $$\displaystyle I_{n+1}=\int_1^e(\log x)^{n+1}\,dx=[x(\log x)^{n+1}]_1^e-(n+1)\int_1^e(\log x)^n\,dx=e-(n+1)I_n.$$ ここで端点では $\log e=1,\ \log1=0$ を用いた。したがって $I_2=e-2I_1=e-2$ である。

(2) 背理法で示す。$a,b$ が同時に0ではないと仮定する。もし $b=0$ ならば $a+be=0$ より $a=0$ となり、仮定に反するので、$b\ne0$ である。よって $$\displaystyle e=-\frac{a}{b}\text{ は有理数}$$ となるが、これは $e$ が無理数であることに反する。したがって $a=0$ かつ $b=0$ である。

(3) 数学的帰納法で示す。$n=1$ では $I_1=1=1+0\cdot e$ であり、係数は有理数である。ある自然数 $n$ で $I_n=A_n+B_ne$（$A_n,B_n\text{ は有理数}$）と表せると仮定すると、(1)の漸化式から $$I_{n+1}=e-(n+1)I_n=-(n+1)A_n+\{1-(n+1)B_n\}e.$$ 右辺の二つの係数は有理数である。よって帰納法により、すべての自然数 $n$ で所定の形に表せる。

(4) (2)より、有理数係数による $I_n=A_n+B_ne$ の表し方は一意である。したがって (1) の漸化式から $A_1=1$、$A_{n+1}=-(n+1)A_n$ を得る。これより帰納的に $$A_n=(-1)^{n+1}n!$$ である。ゆえに $$\displaystyle C_n=\frac{A_n}{(-1)^{n+1}n!}=1.$$

(5) (3)の係数について $B_1=0$、$B_{n+1}=1-(n+1)B_n$ である。まず $n=1$ では $$\displaystyle 1+\sum\limits _{i=1}^{1}(-1)^i{}_1P_i=1-1=0=B_1$$ となる。ある自然数 $n$ で $\displaystyle B_n=1+\sum\limits _{i=1}^{n}(-1)^i{}_nP_i$ と仮定する。このとき、$(n+1){}_nP_i={}_{n+1}P_{i+1}$ および ${}_{n+1}P_1=n+1$ より $$\displaystyle \begin{aligned} B_{n+1}&=1-(n+1)B_n\\ &=-n+\sum\limits _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}(n+1){}_nP_i\\ &=1-{}_{n+1}P_1+\sum\limits _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{}_{n+1}P_{i+1}\\ &=1+\sum\limits _{j=1}^{n+1}(-1)^j{}_{n+1}P_j. \end{aligned}$$ よって帰納法により、すべての自然数 $n$ で示された。特に $$B_5=1-5+20-60+120-120=-44.$$ また $A_5=(-1)^6 5!=120$ だから、$I_5=120-44e$ である。これは漸化式に $I_4=-24+9e$ を代入しても $I_5=e-5I_4=120-44e$ と一致する。