岐阜大学 2024年数学第3問解答・解説

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1問題

岐阜大学2024年度第3問

0 < s < 1, 0 < t < 1 とする。正六角形 ABCDEF において、 $\overrightarrow{AB}$ = $\vec{a}$ , $\overrightarrow{CD}$ = $\vec{c}$ とし、AB を s:(1-s) に内分する点を P、CD を t:(1-t) に内分する点を Q、EP と FQ の交点を I とする。以下の問に答えよ。

(1) $\overrightarrow{FE}$ を $\vec{a}$ , $\vec{c}$ を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{FQ}$ を $\vec{a}$ , $\vec{c}$ , t を用いて表せ。

(3) $\overrightarrow{FI}$ = k $\overrightarrow{FQ}$ , 　 $\overrightarrow{EI}$ = m $\overrightarrow{EP}$ とする。k, m を s, t を用いてそれぞれ表せ。

(4) △EFI と △PQI の面積をそれぞれ S, S' とする。s + t = 1 を満たしながら点 P、点 Q が動くとき、S/S' のとり得る値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説

正六角形では隣り合う辺の向きが $60^\circ$ ずつ変わります。 $\overrightarrow{AB}=\vec a$ と $\overrightarrow{CD}=\vec c$ の和は $\overrightarrow{BC}$ および $\overrightarrow{FE}$ に等しいため、 $\overrightarrow{FC}=2\vec a$ 、よって $\overrightarrow{FQ}=2\vec a+t\vec c$ です。

$A$ を原点、 $\vec a,\vec c$ を基底として各点を座標化すると、交点 $I$ は直線 $FQ$ 上と $EP$ 上の両方にあります。二通りに表した $I$ の2成分を等置すれば連立一次方程式になり、 $k,m$ が得られます。

面積比では、 $\vec a,\vec c$ のつくる平行四辺形の面積が、両三角形の面積の式に共通する因子となるため約分できます。 $s+t=1$ を代入すると $k=m=1/(3-s)$ となり、比は $1/(2-s)^2$ まで簡単になります。 $s$ が $0<s<1$ の範囲を動くので、面積比の値の範囲は $1/4<S/S^{\prime}<1$ です。

この問題で使う考え方

正六角形の辺ベクトル
基底による座標化
行列式による面積比

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