1福井大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$z_1=1+\sqrt3\,i=2e^{i\pi/3}$ なので、漸化式から $$z_n=2^{\,2^{n-1}}e^{i\,2^{n-1}\pi/3}.$$

(1) $z_2=-2+2\sqrt3\,i$、$z_3=-8-8\sqrt3\,i$ である。よって $$\displaystyle [Oz_2z_3] =\frac12\left|(-2)(-8\sqrt3)-(2\sqrt3)(-8)\right| =16\sqrt3.$$

(2) 絶対値は $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n^2$ を満たすため、 $$a_n=2^{\,2^{n-1}}.$$

(3) $n\ge2$ の偏角は、偶数 $n$ では $2\pi/3$、奇数 $n$ では $4\pi/3$（いずれも $2\pi$ を法として）である。したがって偶数番の10点は一つの原点通過直線上、奇数番 $3,5,\dots,19$ の9点は別の原点通過直線上にある。

$z_1$ を選ばないとき、同一直線上にある三点の個数は $$\displaystyle \binom{10}{3}+\binom{9}{3}=120+84.$$ $z_1$ を選ぶとき、残る二点が奇数番の9点から選ばれる場合は同一直線上となり、その個数は $\displaystyle \binom92=36$。一方、偶数番の点を含む場合は同一直線上にない。特に、偏角 $2\pi/3$ の点 $Q=(-r/2,\sqrt3r/2)$ と偏角 $4\pi/3$ の点 $R=(-s/2,-\sqrt3s/2)$（$r,s>0$）について、2つのベクトルの各成分をそれぞれ $Q-z_1=(u_x,u_y),\ R-z_1=(v_x,v_y)$ と表すと $$\displaystyle u_xv_y-u_yv_x=\frac{\sqrt3}{2}r(s+2)\ne0.$$ よって有利な選び方は $240$ 通り、全体は $\displaystyle \binom{20}{3}=1140$ 通りなので、 $$\displaystyle \frac{240}{1140}=\frac4{19}.$$

極形式により絶対値は二乗され、偏角は倍になる。第1小問は複素平面の三角形面積、第3小問は20点を偏角の異なる二直線と初項に分類して同一直線上にある組を数え、異なる直線にまたがる候補は成分の積の差が0でないことを確かめて除外する。