福井大学 2026年数学第4問解答・解説

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1問題

福井大学2026年度第4問

毎回の測定誤差が平均0 g，標準偏差0.5 gの正規分布に従う測定器がある。この測定器で，ある薬1包の重さを100回測った平均は50.2 gであった。この薬1包の真の重さを $a\mathrm{(g)}$ とするとき，以下の問いに答えよ。なお，(2)，(3)については問題冊子6ページにある正規分布表を利用せよ。

(1) この薬1包を100回測った重さの標本平均 $\overline{X}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

(2) $a$ に対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。ただし，区間の両端の値は小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。

(3) $a$ が50 gより大きいといえるか。有意水準5%で検定せよ。

正規分布表。上に標準正規分布の曲線の図があり、縦軸y、横軸z、原点O、O から u までの曲線の下が縦線で塗られている。「次の表は、標準正規分布の正規分布曲線における右図の縦線部分の面積の値をまとめたものである。」とあり、その下の表は、行が u の小数第1位まで（0.0〜3.0）、列が小数第2位（0.00〜0.09）で、値を小数第4位まで示す（例：u=1.00 で 0.3413、u=1.96 で 0.4750、u=3.09 で 0.4990）。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

測定誤差を独立な正規誤差と仮定すれば、 $E[X̄]=a$ 、 $SD(X̄)=0.05 g$ 、95% CI [50.10,50.30] g、片側5%検定では $a>50 g$ と判定する。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文は各回の測定誤差の周辺分布を指定しているが、100回の測定の独立性は明記していない。以下は独立な測定誤差を仮定した条件付き解答である。誤差が独立に $N(0,0.5^2)$ に従うなら各測定値は平均 a、標準偏差0.5で、標本平均は $\displaystyle N(a,\frac{0.5^2}{100})$ 、したがって期待値 a、標準偏差0.05。95%両側区間は正規表の1.96を用い、 $50.2\pm1.96\cdot0.05=50.2\pm0.098$ より、a（g）の信頼区間は $50.102\le a\le50.298$ 、指定の丸めでは $50.10\le a\le50.30$ となる。検定は $H_0:a=50,\quad H_1:a>50$ 。観測 $\displaystyle z=\frac{50.2-50}{0.05}=4.0$ は片側5%臨界値1.645を超えるのでH0を棄却する。独立性がなければ平均の分散・分布が定まらず、数値は確定しない。

この問題で使う考え方

標本平均の分布
信頼区間
片側仮説検定

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