2浜松医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) 2回の出目を $a,b$ とし、$N=6(a-1)+(b-1)$ とおく。$N$ は $0,1,\ldots,35$ を一様にとる。$N=0,\ldots,9$ なら $N+1$ を出し、その他は振り直すと、採用時の各整数の確率は $1/10$。

(2) 3回の出目を $a,b,c$ とし、$N=36(a-1)+6(b-1)+(c-1)$ とおく。$N$ は $0,1,\ldots,215$ を一様にとる。$N=0,\ldots,99$ なら $N+1$ を出し、その他は振り直すと、採用時の各整数の確率は $1/100$。

(3) 独立に得た整数の組を $(x_i,y_i)$ とし、条件 $x_i^2+y_i^2\le10000$ を満たす組の数を $m$ とする。正方形内の第1象限の円の面積比は $\pi/4$ なので、$$\displaystyle \pi\approx4\frac{m}{100}=\frac{m}{25}.$$ これは格子標本による近似であり、$m$ は実際のさいころの結果で決まる。

(4) 4回の出目から $N=216(a-1)+36(b-1)+6(c-1)+(d-1)$ を作れば、$0$〜$1295$ が一様に得られる。$N=0$〜$999$ だけを受理して $N+1$ を使うと、$1$〜$1000$ の一様標本となる。独立な組を $n$ 個取り、円内の組数を $k$ とすれば $4k/n$ で推定する。範囲を細かくし、標本数を増やすことで精度を上げる。

さいころの出目を混合基数で一様整数に符号化し、棄却法で目的の範囲を一様化する。円内標本比から面積比を推定する。