浜松医科大学 2025年数学第3問解答・解説

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1問題

浜松医科大学2025年度第3問

以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $\displaystyle f(x)=x^{\frac{3}{2}}\ (x\geq0)$ および正の実数 $a$ に対して $\displaystyle L(a)=\int_{0}^{a}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx$ を求めよ。

(2) 関数 $g(x)=\left|\left|2-x\right|-1\right|-1$ に対して， $y=g(x)$ のグラフをかけ。

(3) $\displaystyle y=x^{\frac{2}{3}}\ (x\geq0)$ と $y=g(x)$ で囲まれた領域の境界線の長さを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad L(a)=\frac8{27}\{(1+9a/4)^{3/2}-1\}\quad$ 。 (2) $\quad g(x)= -x\space{}(x\le1),\space{}x-2\space{}(1\le x\le2),\space{}2-x\space{}(2\le x\le3),\space{}x-4\space{}(x\ge3)\quad$ 。 (3) 境界長は $\displaystyle \quad 8\sqrt2+\frac{80\sqrt{10}-8}{27}\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\displaystyle f'(x)=\frac32\sqrt{x}$ より $\displaystyle L(a)=\frac12\int_0^a\sqrt{4+9x}\,dx=\frac{(4+9a)^{3/2}-8}{27}=\frac8{27}\left\{\left(1+\frac{9a}{4}\right)^{3/2}-1\right\}.$ (2) 絶対値の内側の符号が変わる点 $x=1,2,3$ で場合分けすれば $g(x)=\begin{cases}-x&(x\le1),\\x-2&(1\le x\le2),\\2-x&(2\le x\le3),\\x-4&(x\ge3.\end{cases}$ (3) $0<x\le4$ では $g(x)\le0<x^{2/3}$ で、x=0だけが交点となる。 $x\ge4$ では $g(x)=x-4$ 。 $u=x^{1/3}\ge0$ とおくと交点方程式は $u^3-u^2-4=0=(u-2)(u^2+u+2)$ であり、 $u^2+u+2=(u+1/2)^2+7/4>0$ より唯一の実根はu=2、従ってx=8である。よって囲まれた領域の $x$ の範囲は $0\le x\le8$ 。折れ線部分は傾きの絶対値がすべて1で横幅が合計8だから長さは $8\sqrt2$ 。曲線 $y=x^{2/3}$ の弧長は $u=x^{1/3}$ とおけば $\displaystyle \int_0^8\sqrt{1+\frac49x^{-2/3}}\,dx=\int_0^2u\sqrt{9u^2+4}\,du=\frac{80\sqrt{10}-8}{27}.$

この問題で使う考え方

弧長積分
絶対値の区分表示
置換積分

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