7弘前大学 2008年 数学 第7問解答・解説

$f(x)=|x^2-3x|-1$ とおく。$0<a<3$ では $$f(x)=\begin{cases} x^2-3x-1 &(x\le0\text{ または }x\ge3),\\ -x^2+3x-1 &(0\le x\le3). \end{cases}$$

接線と交点

$a$ は中央の枝上にあるので $f'(a)=3-2a$。点 $(a,f(a))$ での接線は $$\ell(x)=(3-2a)x+a^2-1.$$ 中央の枝との差は $\ell(x)-f(x)=(x-a)^2$ である。左右の外側の枝と交わる位置を、それぞれ $x=-u$、$x=3+v$ ($u,v>0$) とする。また $q=3-a$ と置く。左側では $$\ell(-t)-f(-t)=a^2-2qt-t^2\quad(t\ge0),$$ 右側では $$\ell(3+t)-f(3+t)=q^2-2at-t^2\quad(t\ge0).$$ これらの正の零点は $$u=\sqrt{a^2+q^2}-q,\qquad v=\sqrt{a^2+q^2}-a.$$ したがって、曲線と接線に囲まれる部分の面積は、中央部分と左右の部分を足して $$\displaystyle S=\int_0^3(x-a)^2\,dx+\int_0^u(a^2-2qt-t^2)\,dt+\int_0^v(q^2-2at-t^2)\,dt.$$ $u^2+2qu=a^2$、$v^2+2av=q^2$ を用いると $$\displaystyle S=\frac{a^3+q^3}{3}+qu^2+\frac23u^3+av^2+\frac23v^3.$$ $R=\sqrt{a^2+q^2}$ とすれば $u=R-q$, $v=R-a$ だから、展開して $$\displaystyle S=\frac43R^3-3R^2+\frac23(a^3+q^3).$$ ここで $p=aq=a(3-a)$ とおくと $$R^2=a^2+q^2=9-2p,\qquad a^3+q^3=27-9p,$$ よって $$\displaystyle S=\frac43(9-2p)^{3/2}-9.$$

$S$ の値域

平方完成により $$\displaystyle p=a(3-a)=\frac94-\left(a-\frac32\right)^2.$$ $0<a<3$ なので $\displaystyle 0<p\le\frac94$。従って $r=9-2p$ は $\displaystyle \frac92\le r<9$ を動く。関数 $\displaystyle \frac43r^{3/2}-9$ はこの範囲で連続かつ増加するから $$\displaystyle \frac43\left(\frac92\right)^{3/2}-9\le S<\frac43\cdot9^{3/2}-9.$$ 左端は $\displaystyle a=\frac32$ で実現し、値は $9\sqrt2-9$。右端は $a\to0+$ または $a\to3-$ の極限であり、$a$ は端点を取らないので含まれない。よって $$\boxed{9(\sqrt2-1)\le S<27}.$$

曲線は$0\le x\le3$の範囲で$-x^2+3x-1$、外側で$x^2-3x-1$となる。$a$での接線は$\ell=(3-2a)x+a^2-1$。外側の左右の交点を$-u$、$3+v$とすると、$q=3-a$、$R=\sqrt{a^2+q^2}$により$u=R-q$、$v=R-a$。接線と曲線の面積は中央区間の積分と左右の積分の和で、整理すると$\displaystyle S=\frac43R^3-3R^2+\frac23(a^3+q^3)$。$p=a(3-a)$を用いると$\displaystyle S=\frac43(9-2p)^{3/2}-9$。$\displaystyle p=\frac94-(a-\frac32)^2$は$\displaystyle 0<p\le\frac94$の範囲を動くから、$\displaystyle \frac92\le9-2p<9$となる。連続増加関数の像を取って$9(\sqrt2-1)\le S<27$。