6弘前大学 2008年 数学 第6問解答・解説

$F_n(x)=x^3+3nx^2-(3n+2)$ とおく。$F_n(1)=-1<0$、$F_n(2)=9n+6>0$ なので、連続性から $(1,2)$ に解がある。また $x>0$ で $$F_n'(x)=3x(x+2n)>0.$$ 従って正の範囲で単調増加であり、正の解はただ一つ。これを $a_n$ とすると $1<a_n<2$。

方程式を整理して $$3n(a_n^2-1)=2-a_n^3.$$ 左辺は正だから $0<2-a_n^3<1$。従って $$\displaystyle 0<a_n-1=\frac{a_n^2-1}{a_n+1} =\frac{2-a_n^3}{3n(a_n+1)} <\frac{1}{6n},$$ ここで $a_n+1>2$ を用いた。はさみうちにより $a_n\to1$。

値の符号変化と正の範囲での導関数の符号により存在と一意性を示した。極限は根が1より上にあることと方程式を差の形にした評価 $\displaystyle 0<a_n-1<\frac1{6n}$ から導いた。