I日本医科大学 2025年 数学 第I問解答・解説

(問1) 1回の試行で「4以下」が出る確率は $4/6=2/3$、「5または6」が出る確率は $2/6=1/3$ である。各回は独立なので、4以下がちょうど $k$ 回となる確率は $$\displaystyle P_{n,k}=\binom nk\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{n-k} =\binom nk\frac{2^k}{3^n}.$$ したがって $\text{ア}=2,\ \text{イ}=3$ である。

「4以下」が出たときの複素数の倍率は $$\displaystyle \sqrt2 i=\sqrt2\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right),$$ 「5または6」が出たときの倍率は $$\displaystyle \frac1{1+i}=\frac{1-i}{2} =\frac1{\sqrt2}\left(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right).$$ 従って、4以下が $k$ 回、残り $n-k$ 回なら、極形式の積から $$\displaystyle \begin{aligned} z_{n,k} &=(\sqrt2 i)^k\left(\frac1{1+i}\right)^{n-k}\\ &=2^{(2k-n)/2} \left\{\cos\left(\frac{3k-n}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3k-n}{4}\pi\right)\right\}. \end{aligned}$$ よって $\text{ウ}=2,\ \text{エ}=2,\ \text{オ}=2,\ \text{カ}=3,\ \text{キ}=4$ である。

(問2) $k=0,1,\ldots,2024$ に対し、隣り合う確率の比は $$\displaystyle \frac{P_{2025,k+1}}{P_{2025,k}} =\frac{2025-k}{k+1}\cdot2.$$ これは $2(2025-k)>k+1$、すなわち $k<4049/3$ のとき1より大きい。従って $k\le1349$ までは確率が増加し、$k\ge1350$ では減少するので、最大値は $k=1350$ でとる。よって $\text{ク}=1350$ である。

(問3) $z_{2025,k}$ の絶対値は正なので、純虚数となる条件は偏角の余弦が0となることである。 $$\displaystyle \cos\left(\frac{3k-2025}{4}\pi\right)=0 \quad\text{すなわち}\quad 3k-2025\equiv2\pmod4.$$ ここで $2025\equiv1\pmod4$ だから、$3k\equiv3\pmod4$、従って $k\equiv1\pmod4$ となる。$0\le k\le2025$ の範囲では $$k=1,5,9,\ldots,2025$$ であり、その個数は $(2025-1)/4+1=507$ 個である。よって $\text{ケ}=507$ である。

検算として、確率の総和は二項定理より $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^nP_{n,k}=\frac{(1+2)^n}{3^n}=1$$ となる。問2の比は $k=1349$ で1より大きく、$k=1350$ で1より小さい。また問3では最初と最後の候補 $1,2025$ がともに範囲内で、4刻みの507個と一致する。