III日本医科大学 2025年 数学 第III問解答・解説

曲線上の点は，実数 $u,v$ を用いてそれぞれ $$P=(2u^2,u,0),\qquad Q=(2v^2,0,v)$$ と表せる。したがって $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$ より， $$R=(2u^2+2v^2,u,v).$$ ゆえに集合 $S$ は $$x=2(y^2+z^2)$$ で表される。

問1では $x=k$ とすると $\displaystyle y^2+z^2=\frac{k}{2}$ となる。よって平面 $x=k$ 内で，中心 $(k,0,0)$，半径 $\displaystyle \sqrt{\frac{k}{2}}$ の円である。したがって $\displaystyle \text{ア}=0,\ \text{イ}=0,\ \text{ウ}=\sqrt{\frac{k}{2}}$ である。

問2では，点 $A(1,3,4)$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $H=(1,0,0)$ だから， $$AH=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=5.$$ したがって $\text{エ}=5$ である。

問3では，点 $A$ は $x$ 軸のまわりの回転で $x=1$ を保ち，中心 $(1,0,0)$ からの距離 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ も保つ。回転後に $xy$ 平面上にあり，$y$ 座標が正である点は $B=(1,5,0)$ である。したがって $(\text{オ},\text{カ},\text{キ})=(1,5,0)$ である。

問4では，$X=(2(y^2+z^2),y,z)$ とおき，$r=\sqrt{y^2+z^2}\ (r\geq0)$ とする。距離の二乗は $$|\overrightarrow{AX}|^2=(2r^2-1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2.$$ ここで $3y+4z\leq 5\sqrt{y^2+z^2}=5r$ である。これは $$25(y^2+z^2)-(3y+4z)^2=(4y-3z)^2\geq0$$ から従う。したがって $$(y-3)^2+(z-4)^2=r^2+25-2(3y+4z)\geq(r-5)^2.$$ 等号は $4y-3z=0$ かつ $3y+4z=5r$ のとき，すなわち $\displaystyle (y,z)=\frac r5(3,4)$ のときに成立する。よって，固定した $r$ に対する距離の二乗の最小値は $$f(r)=(2r^2-1)^2+(r-5)^2=4r^4-3r^2-10r+26$$ である。さらに $$f(r)-17=4r^4-3r^2-10r+9=(r-1)^2(4r^2+8r+9)=(r-1)^2\{4(r+1)^2+5\}\geq0.$$ 等号は $r=1$ のときに成立する。このとき等号条件から $\displaystyle (y,z)=(\frac35,\frac45)$，また $x=2r^2=2$ である。したがって最小値は $\sqrt{17}$ で，そのときの点は $\displaystyle X=(2,\frac35,\frac45)$ である。代入すると $$\displaystyle |\overrightarrow{AX}|^2=(2-1)^2+\left(\frac35-3\right)^2+\left(\frac45-4\right)^2=1+\frac{144}{25}+\frac{256}{25}=17,$$ となり，最小値を確認できる。