IV日本医科大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

問1について，実数 $x$ に対して $$\displaystyle b(-x)=\frac12\{a(-x)+a(x)\}=b(x),\qquad c(-x)=\frac12\{a(-x)-a(x)\}=-c(x).$$ よって $b(-x)=b(x)$ なので $b(x)$ は偶関数であり，$c(-x)=-c(x)$ なので $c(x)$ は奇関数である。

問2(1)では，$g(x)$ は全ての実数で連続である。実際，$1+e^x>0$，$3+\cos x\geq2$ である。条件(ii)を変形し，$h\neq0$ に対して差商をとると $$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\frac1h\int_x^{x+h}g(t)f(t)\,dt.$$ $g(t)f(t)$ は連続だから，右辺は $h\to0$ のとき $-g(x)f(x)$ に収束する。したがって $f$ は微分可能であり， $$f'(x)=-g(x)f(x)$$ である。

問2(2)では，各分母が正なので対数を用いることができ， $$\displaystyle G(x)=\log(1+e^x)-\log(3+\cos x)+\log2 =\log\frac{2(1+e^x)}{3+\cos x}.$$ 実際，この導関数は $g(x)$ であり，$G(0)=\log2-\log4+\log2=0$ を満たす。

問2(3)で $h(x)=e^{G(x)}f(x)$ とおく。積の微分法と $G'(x)=g(x)$，問2(1)から $$h'(x)=e^{G(x)}\{G'(x)f(x)+f'(x)\} =e^{G(x)}\{g(x)f(x)-g(x)f(x)\}=0.$$ よって $h(x)$ は定数であり，$h(0)=e^{G(0)}f(0)=2$ から $h(x)=2$ である。したがって $$\displaystyle f(x)=2e^{-G(x)}=\frac{3+\cos x}{1+e^x}.$$

問3では，任意の実数 $x$ について $$\displaystyle f(-x)=\frac{3+\cos x}{1+e^{-x}} =\frac{e^x(3+\cos x)}{1+e^x},\qquad f(x)+f(-x)=3+\cos x.$$ 積分区間を $0\le x\le\pi$ と $-\pi\le x\le0$ の範囲に分け，後者で変数を $-x$ に置き換えると $$\displaystyle I=\int_0^{\pi}\{f(x)+f(-x)\}\,dx =\int_0^{\pi}(3+\cos x)\,dx =3\pi.$$