5筑波大学 2025年 数学 第5問解答・解説

$t=\log x$ とおくと $x=e^t$、$f(x)=e^{-t}\sin t$、$dt/dx=1/x=e^{-t}$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x)&=e^{-t}\frac{d}{dt}(e^{-t}\sin t) =e^{-2t}(\cos t-\sin t) =\frac{\cos(\log x)-\sin(\log x)}{x^2},\\ f''(x)&=e^{-t}\frac{d}{dt}\{e^{-2t}(\cos t-\sin t)\} =e^{-3t}(\sin t-3\cos t) =\frac{\sin(\log x)-3\cos(\log x)}{x^3}. \end{aligned}$$ よって (1) の答えを得る。

(2) $t=\log x$ は $x>1$ のもとで $t>0$ を動き、$f'(x)=0$ は $\cos t-\sin t=0$、すなわち $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}+k\pi\ (k\text{ は整数})$ と同値である。区間 $2(n-1)\pi<t<2n\pi$ に入る解は $$\displaystyle t=\alpha_n^\ast:=2(n-1)\pi+\frac{\pi}{4},\qquad t=\beta_n^\ast:=2(n-1)\pi+\frac{5\pi}{4}$$ の2つだけである。それぞれに対応する $x$ を $$\alpha_n=e^{2(n-1)\pi+\pi/4},\qquad \beta_n=e^{2(n-1)\pi+5\pi/4}$$ とする。第1の点では $$f''(\alpha_n)=-\sqrt2\,e^{-3(2(n-1)\pi+\pi/4)}<0,$$ 第2の点では $$f''(\beta_n)=\sqrt2\,e^{-3(2(n-1)\pi+5\pi/4)}>0.$$ したがって前者は極大点、後者は極小点であり、導関数の零点が各区間内にこの2つだけなので、それぞれただ1つである。

(3) $r=e^{-6\pi}\ (0<r<1)$ とすると、上の値は等比級数となり $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}f''(\alpha_n) =-\frac{\sqrt2\,e^{-3\pi/4}}{1-e^{-6\pi}},\qquad \sum\limits _{n=1}^{\infty}f''(\beta_n) =\frac{\sqrt2\,e^{-15\pi/4}}{1-e^{-6\pi}}.$$ よって両和は収束し、 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac1\pi\left\{ \log\left|\sum\limits _{n=1}^{\infty}f''(\alpha_n)\right| -\log\left|\sum\limits _{n=1}^{\infty}f''(\beta_n)\right| \right\} &=\frac1\pi\log\left( \frac{\sqrt2\,e^{-3\pi/4}/(1-e^{-6\pi})} {\sqrt2\,e^{-15\pi/4}/(1-e^{-6\pi})} \right)\\ &=\frac1\pi\log(e^{3\pi})=3. \end{aligned}$$