2筑波大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) $f'(x)=3x^2-1$ は $x=\pm1/\sqrt3$ で符号が変わる。従って $x=-1/\sqrt3$ で極大、$x=1/\sqrt3$ で極小となり、 $$\displaystyle f(-1/\sqrt3)=p+\frac{2}{3\sqrt3}>0,\qquad f(1/\sqrt3)=p-\frac{2}{3\sqrt3}.$$ また $x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to+\infty$ で $f(x)\to+\infty$。極小値が正なら左側で1回だけ $x$ 軸を横切る。極小値が負なら極大値が正であるため3回横切り、極小値が0なら $$\displaystyle f(x)=\left(x-\frac1{\sqrt3}\right)^2\left(x+\frac2{\sqrt3}\right)$$ となり異なる実数解が2つある。よって $$\displaystyle \boxed{p>\frac{2}{3\sqrt3}}.$$

(2) 与えられた根から因数分解して係数を比較する。 $$f(x)=(x-a)\bigl((x-b)^2+c^2\bigr) =x^3-(a+2b)x^2+(b^2+c^2+2ab)x-a(b^2+c^2).$$ これを $x^3-x+p$ と比較すると $$a=-2b,\qquad c^2=3b^2-1,\qquad p=2b(b^2+c^2)=2b(4b^2-1).$$ $c>0$ より $b^2>1/3$。この範囲では $4b^2-1>0$ なので、$p>0$ から $b>0$。従って必要条件は $b>1/\sqrt3$ である。逆に任意の $b>1/\sqrt3$ に対して上の式で $a,c,p$ を定めれば $c,p>0$ であり、 $$(x-a)\bigl((x-b)^2+c^2\bigr) =(x+2b)\bigl((x-b)^2+3b^2-1\bigr) =x^3-x+2b(4b^2-1).$$ よって全てのその $b$ が実現する。したがって $$\displaystyle \boxed{a=-2b,\quad c=\sqrt{3b^2-1},\quad p=2b(4b^2-1),\quad b>\frac1{\sqrt3}}.$$

(3) $b,c$ がともに整数と仮定すると $c^2=3b^2-1$ から $c^2\equiv2\pmod3$ となる。しかし整数の平方を3で割った余りは0または1だけであり、矛盾する。従って少なくとも一方は整数でない。