4筑波大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。元の両辺は非負であるから，両辺を2乗しても同値である。 $$\begin{aligned} |z-a^2i|^2=a^2|z-i|^2 &\text{、すなわち } x^2+(y-a^2)^2=a^2\{x^2+(y-1)^2\}\\ &\text{、すなわち } (1-a^2)(x^2+y^2-a^2)=0. \end{aligned}$$ $a\ne1$ より $1-a^2\ne0$ なので $x^2+y^2=a^2$。また $a>0$ だから，$C$ は原点を中心とする半径 $a$ の円である。

以下，$z$ は $C$ 上にあるので $$\displaystyle z=a(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad \frac1z=\frac1a(\cos\theta-i\sin\theta).$$ $\displaystyle A=a-\frac1a$，$\displaystyle B=a+\frac1a$，$s=\sin\theta$ とおくと $$w=A\cos\theta+iB s,\qquad B^2-A^2=4.$$

(2) 実部と虚部に分けて絶対値の平方を計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} |w-2i|^2 &=A^2\cos^2\theta+(Bs-2)^2\\ &=A^2(1-s^2)+B^2s^2-4Bs+4\\ &=A^2+4s^2-4Bs+4\\ &=B^2+4s^2-4Bs=(B-2s)^2\\ &=\left(a+\frac1a-2\sin\theta\right)^2. \end{aligned}$$

(3) 同様に $$|w+2i|^2=A^2\cos^2\theta+(Bs+2)^2=(B+2s)^2.$$ さらに $$\displaystyle B-2=a+\frac1a-2=\frac{(a-1)^2}{a}>0$$ であり，$-1\leq s\leq1$ だから $B-2s>0$，$B+2s>0$ である。したがって $$|w-2i|=B-2s,\qquad |w+2i|=B+2s.$$ よって $$\displaystyle |w-2i|+|w+2i|=2B=2\left(a+\frac1a\right),$$ となり，$z$ の位置によらない。