6筑波大学 2025年 数学 第6問解答・解説

(1) $x>0$ では $$\displaystyle f'(x)=\frac{e^{-x^2/4}(1-x^2)}{2\sqrt{x}}.$$ したがって $0<x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。また $f(0)=0$ なので、最大値は $$M=f(1)=e^{-1/4}$$ である。

(2) $0\le x\le5$ なら $e^{-x^2/4}\ge e^{-25/4}$ であるから $$f(x)=\sqrt{x}e^{-x^2/4}\ge e^{-25/4}\sqrt{x}.$$ これを $x=0$ から $x=5$ まで積分すると $$\displaystyle \alpha\ge e^{-25/4}\int_0^5\sqrt{x}\,dx =\frac{2}{3}5^{3/2}e^{-25/4} =\frac{10}{3}f(5).$$

(3) 各 $x$ で回転断面は半径 $|f(x)-t|$ の円板なので $$\displaystyle \begin{aligned} V(t)&=\pi\int_0^5(f(x)-t)^2\,dx\\ &=\pi\left(\int_0^5 f(x)^2\,dx-2\alpha t+5t^2\right). \end{aligned}$$ ここで $u=x^2/2$ と置けば $$\displaystyle \int_0^5 f(x)^2\,dx=\int_0^5 xe^{-x^2/2}\,dx=1-e^{-25/2}.$$ よって $$\displaystyle V(t)=\pi\left\{5\left(t-\frac{\alpha}{5}\right)^2+1-e^{-25/2}-\frac{\alpha^2}{5}\right\}.$$ (2)から $\alpha/5\ge(2/3)f(5)$ であり、(1)の $f(x)\le M$ を積分して $\alpha/5\le M$ を得る。したがって頂点 $t=\alpha/5$ は指定範囲内にあり、 $$\displaystyle \boxed{\min V(t)=\pi\left(1-e^{-25/2}-\frac{\alpha^2}{5}\right)}.$$