IV日本医科大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

問1 条件(i)の右辺を $t$ で微分すると $$\displaystyle \sqrt{1+f'(t)^2} =\frac{2a^2}{a^2-t^2}-1 =\frac{a^2+t^2}{a^2-t^2}.$$ したがって $$\displaystyle f'(t)^2 =\frac{(a^2+t^2)^2-(a^2-t^2)^2}{(a^2-t^2)^2} =\frac{4a^2t^2}{(a^2-t^2)^2}.$$ 条件(ii)から $f'(t)=-2at/(a^2-t^2)$ である。これを積分し、条件(iii)を用いると $$\displaystyle f(x)=a\log(a^2-x^2)+C, \qquad f\left(\frac a2\right)=0 \quad\text{より}\quad f(x)=a\log\frac{4(a^2-x^2)}{3a^2}.$$ この関数は $$\displaystyle f'(x)=-\frac{2ax}{a^2-x^2},\qquad f''(x)=-\frac{2a(a^2+x^2)}{(a^2-x^2)^2}<0 \quad(0\le x<a)$$ を満たす。よって $x=0$ で水平接線をもち、そこから単調に減少し、全域で上に凸（$f''<0$）である。$f(0)=a\log(4/3)>0$、$x=a/2$ で $x$ 軸と交わり、$x\to a-$ で $f(x)\to-\infty$。

$a>0$ による縦横同倍率の拡大で同じ概形となる。破線 $x=a$ は漸近線であり、定義域に含まれない。

問2 曲線と両座標軸で囲まれる部分は $0\le x\le a/2$ にある。$u=x/a$ と置くと $$\displaystyle \begin{aligned} S_1(a) &=a^2\int_0^{1/2}\log\frac{4(1-u^2)}3\,du\\ &=a^2\left\{\frac12\log\frac43 +\left[(1+u)\log(1+u)-(1-u)\log(1-u)-2u\right]_0^{1/2}\right\}\\ &=a^2(\log 3-1). \end{aligned}$$ ここで第2行の括弧は $\log(1-u^2)$ の積分を含めた原始関数である。

$P=(a/2,0)$ における接線の傾きは $f'(a/2)=-4/3$ だから、接線は $$\displaystyle y=-\frac43x+\frac{2a}{3},\qquad Q=\left(0,\frac{2a}{3}\right).$$ $PR:RQ=(2-a):(1+a)$ より $$\displaystyle R=\frac{(1+a)P+(2-a)Q}{3} =\left(\frac{a(1+a)}6,\frac{2a(2-a)}9\right).$$ したがって $$\displaystyle S_2(a)=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac{2a(2-a)}9 =\frac{a^2(2-a)}{18}.$$ 差を整理すると $$\displaystyle S_1(a)-S_2(a) =\frac{a^2}{18}\bigl(a-(20-18\log3)\bigr).$$ 与えられた $1.09<\log3<1.10$ から $$0.2<20-18\log3<0.38<1.$$ よって $a_0=20-18\log3$ は $0<a_0<1$ を満たし、大小関係は $$\begin{cases} S_1(a)<S_2(a),&0<a<a_0,\\ S_1(a)=S_2(a),&a=a_0,\\ S_1(a)>S_2(a),&a_0<a<1. \end{cases}$$