I日本医科大学 2026年 数学 第I問解答・解説

日本医科大学 2026年度 数学（前期）I

問題 ID: `MM-30d563adf1c3-Q1`

さいころの各回の出目は独立で、全216通りの順序付き出目列が同様に確からしい。出目ごとに各箱へ入る球の数を整理すると、箱1には出目1,5,6、箱2には出目2,5、箱3には出目3,6、箱4には出目4のとき1個ずつ入る。

問1

箱1に球が入る出目は6通り中3通りなので、3回のうちちょうど1回だけ該当する確率は $$\displaystyle \binom31\left(\frac36\right)\left(\frac36\right)^2 =\frac38.$$ したがって、$\boxed{\text{ア}=3,\ \text{イ}=8}$。

問2

箱2に球が入る出目は2,5の2通りである。3回中ちょうど1回だけこのいずれかが出る確率は $$\displaystyle \binom31\left(\frac26\right)\left(\frac46\right)^2 =3\cdot\frac13\cdot\frac49=\frac49.$$ よって、$\boxed{\text{ウ}=4,\ \text{エ}=9}$。

問3

箱4に球が入るのは出目4のときだけである。したがって、 $$\displaystyle \Pr(N_4=1)=\binom31\frac16\left(\frac56\right)^2 =\frac{75}{216}=\frac{25}{72}.$$ よって、$\boxed{\text{オ}=25,\ \text{カ}=72}$。

問4

条件 $N_1=1$ のもとで $N_2=1$ となる列を数える。箱1への加球出目を $A=\{1,5,6\}$、箱2への加球出目を $B=\{2,5\}$ とする。

$N_1=1$ かつ $N_2=1$ となるには、次のいずれかである。

- 出目5が1回出て両方の箱に1個ずつ入り、残り2回はどちらにも加球しない出目3,4。列数は $3\cdot2^2=12$。 - 出目1または6が1回、出目2が1回、残り1回が出目3または4。3種類の役割を置く順序が $3!$ 通りなので、列数は $3!\cdot2\cdot1\cdot2=24$。

従って、両条件を満たす列は36通りである。一方、$N_1=1$ の列数は、箱1に入る出目の位置が3通り、その出目が3通り、残りは各3通りなので $3\cdot3\cdot3^2=81$ 通り。よって条件付き確率は $$\displaystyle \Pr(N_2=1\mid N_1=1)=\frac{36}{81}=\frac49.$$ したがって、$\boxed{\text{キ}=4,\ \text{ク}=9}$。

**使用解法:** 出目の分類、二項分布による計数、条件付き確率の順序付き列の計数。