4大阪大学 2021年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\int_a^c(x^2+bx)\,dx-\int_b^c(x^2+ax)\,dx\\ &=(b-a)\left(\frac{a^2+ab+b^2}{3}+\frac{c^2+ab}{2}\right)\\ &=\frac{b-a}{6}\left(2a^2+5ab+2b^2+3c^2\right). \end{aligned}$$ (1) $a\ne b$ より $$2a^2+5ab+2b^2+3c^2=0.$$ mod $3$ で $$a^2+ab+b^2\equiv(a-b)^2\equiv0\pmod3,$$ だから $a\equiv b\pmod3$。$a=b+3k$（$k$は整数）とおけば $$2a^2+5ab+2b^2=9(b^2+3bk+2k^2).$$ したがって $9(b^2+3bk+2k^2)+3c^2=0$ より $3\mid c^2$、ゆえに $3\mid c$。

(2) $a<b$ なので $a\ne b$。従って $$(2a+b)(a+2b)=-3c^2=-38{,}880{,}000.$$ $x=2a+b,\ y=a+2b$ とおくと $x<y$ かつ $xy<0$ なので $x=-d,\ y=e$（$d,e>0$）。$de=3c^2$。逆変換 $$\displaystyle a=\frac{2x-y}{3},\qquad b=\frac{2y-x}{3}$$ から整数条件は $d\equiv e\pmod3$。$de$ は $3$ の倍数なので、この合同条件により $d,e$ はともに $3$ の倍数。$d=3u,\ e=3v$ とおくと $$\displaystyle uv=\frac{c^2}{3}=\frac{3600^2}{3}=2^8\cdot3^3\cdot5^4.$$ 逆にこの積を満たす任意の正整数因数対 $(u,v)$ は整数 $a=-2u-v,\ b=u+2v$ を一意に定め、$a<b$ と条件 $(*)$ を満たす。求める順序付き因数対の数は $$(8+1)(3+1)(4+1)=180.$$