1大阪大学 2021年 数学 第1問解答・解説

接点の第1座標を u $(u>0)$ とする。曲線 $\displaystyle y=\frac1x$ 上の異なる2点 $\displaystyle \left(u,\frac1u\right),\quad\left(x,\frac1x\right)$ を結ぶ直線の傾きは $\displaystyle \frac{\frac1x-\frac1u}{x-u}=-\frac1{ux}$ であるから、x$\to$ u とすると接線の傾きは -$\displaystyle \frac1{u^2}$ である。よって接点 (u,$\displaystyle \frac1u$) における接線は $\displaystyle y-\frac1u=-\frac1{u^2}(x-u)$、すなわち $\displaystyle y=\frac2u-\frac{x}{u^2}$ である。

点 $P(a,b)$ がこの接線上にある条件は $\displaystyle b=\frac2u-\frac{a}{u^2}$、したがって $bu^2-2u+a=0$ である。判別式は $4-4ab=4(1-ab)>0$ であり、その解は $\displaystyle u=\frac{1\pm\sqrt{1-ab}}b$ となる。$0<ab<1$、$b>0$ より両解は正であり、負号の解の方が小さい。したがって (1) $\displaystyle s=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b},\quad t=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$。

(2) 条件から $\displaystyle 0<a<\frac{\sqrt3}{2},\quad b=\frac94-3a^2$ である。$r=ab$ とおくと $\displaystyle r=\frac94a-3a^3$ であり、$\displaystyle \frac34-r=3\left(a-\frac12\right)^2(a+1)\ge0$ となる。等号は $\displaystyle a=\frac12$ のときに限る。したがって $\displaystyle 0<r\le\frac34<1$ で、$r$ の最大値は $\displaystyle a=\frac12$ のときの $\displaystyle \frac34$ である。このとき $\displaystyle b=\frac32$。

$v=\sqrt{1-r}$ とおくと、(1)より $\displaystyle \frac ts=\frac{1+v}{1-v}$ である。上の範囲から $\displaystyle \frac12\le v<1$ なので、$\displaystyle \frac ts-3=\frac{4v-2}{1-v}=\frac{2(2v-1)}{1-v}\ge0$。等号は $\displaystyle v=\frac12$、すなわち $\displaystyle r=\frac34$ のときに成立する。これは $\displaystyle a=\frac12,\quad b=\frac32$ のときである。ゆえに最小値は $3$ である。