3大阪大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle F(x)=\log x-\log t-\frac{x-t}{t}$ とおく。$x\geq t\geq1$ より $\displaystyle F'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{t}=-\frac{x-t}{xt}\leq0$ であるから、$F(x)\leq F(t)=0$ である。また、$\displaystyle G(x)=F(x)+\frac{(x-t)^2}{2}$ とおくと、$\displaystyle G'(x)=(x-t)(1-\frac{1}{xt})\geq0$ である。ここで $x-t\geq0$、$xt\geq1$ を用いた。したがって $G(x)\geq G(t)=0$、すなわち $\displaystyle -\frac{(x-t)^2}{2}\leq F(x)$ である。

(2) (1)を $\displaystyle t\leq x\leq t+\frac1n$ で積分すると、$$\displaystyle -\int_t^{t+1/n}\frac{(x-t)^2}{2}\,dx\leq\int_t^{t+1/n}\left(\log x-\log t-\frac{x-t}{t}\right)dx\leq0.$$ 左辺は $\displaystyle -\frac{1}{6n^3}$、中央は $\displaystyle \int_t^{t+1/n}\log x\,dx-\frac1n\log t-\frac{1}{2tn^2}$ であるから、求める不等式を得る。

(3) $\displaystyle t_k=1+\frac{k}{n}$、$\displaystyle S_n=\frac1n\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac1{t_k}$ とおく。(2)を $t=t_k$ に適用して $k=0,1,\ldots,n-1$ について加えると、$$\displaystyle -\frac1{6n^2}\leq\int_1^2\log x\,dx-\frac{a_n}{n}-\frac{S_n}{2n}\leq0.$$ $\displaystyle I=\int_1^2\log x\,dx=[x\log x-x]_1^2=2\log2-1$ とおけば、$$\displaystyle -\frac1{6n}\leq nI-a_n-\frac12S_n\leq0.$$ 次に $x\mapsto1/x$ は正の範囲で減少するので、$t_k\leq x\leq t_{k+1}$ ならば $\displaystyle \frac1{n+k+1}\leq\int_{t_k}^{t_{k+1}}\frac{dx}{x}\leq\frac1{n+k}$ である。これを加えると $\displaystyle S_n-\frac1{2n}\leq\log2\leq S_n$ となり、$S_n\to\log2$ を得る。前の不等式から $\displaystyle a_n-nI=-\frac12S_n+\varepsilon_n$ と書け、$\displaystyle 0\leq\varepsilon_n\leq\frac1{6n}$ である。よって $\displaystyle a_n-nI\to-\frac12\log2$。有限な極限 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(a_n-pn)=q$ が存在するには $a_n-pn=(a_n-nI)+n(I-p)$ の第2項が有界でなければならないから、$p=I=2\log2-1$ であり、そのとき $\displaystyle q=-\frac12\log2$ である。