2大阪大学 2021年 数学 第2問解答・解説

置く位置ベクトルを $\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$、$\vec c=\overrightarrow{OC}$ とする。$O,A,B,C$ は同一平面上にないので、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立である。内分比から $$\displaystyle \overrightarrow{OA_0}=\frac12\vec a,\quad \overrightarrow{OB_0}=\frac13\vec b,\quad \overrightarrow{OP}=(1-s)\vec a+s\vec c,\quad \overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec b+t\vec c.$$ また、$s>0$ と一次独立性から $\overrightarrow{A_0B_0}$ と $\overrightarrow{A_0P}$ は一次独立である。実際、前者の $\vec c$ 成分は $0$、後者の $\vec c$ 成分は $s$ であり、前者には $\vec b$ 成分 $1/3$ がある。したがって $A_0,B_0,P$ は一直線上にない。

(1) $Q$ が $A_0,B_0,P$ を通る平面にあることは、ある実数 $u,v$ について $$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA_0}+u\overrightarrow{A_0B_0}+v\overrightarrow{A_0P}$$ となることと同値である。$\vec b$ 成分と $\vec c$ 成分を比べると $$\displaystyle u=3(1-t),\qquad v=\frac ts.$$ $\vec a$ 成分を比べると $$\displaystyle \frac12-\frac32(1-t)+\frac ts\left(\frac12-s\right)=0.$$ 両辺に $2s$ を掛けて整理すると $t(1+s)=2s$ だから、 $$\displaystyle t=\frac{2s}{1+s}.$$

(2) 内積の条件から $$\vec a\cdot\vec b=-1,\qquad \vec b\cdot\vec c=0,\qquad \vec a\cdot\vec c=1,\qquad \vec c\cdot\vec c=4.$$ $\angle POQ=90^\circ$ なので $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$。位置ベクトルを代入して $$\begin{aligned} 0&=\bigl((1-s)\vec a+s\vec c\bigr)\cdot\bigl((1-t)\vec b+t\vec c\bigr)\\ &=-(1-s)(1-t)+(1-s)t+4st\\ &=s-1+2t(1+s). \end{aligned}$$ (1) の $t=2s/(1+s)$ を代入すると $0=s-1+4s=5s-1$。したがって $$\displaystyle s=\frac15,\qquad t=\frac13.$$ どちらも $0<s,t<1$ を満たす。