5大阪大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) f(x)=x−tan x とする。−π/2<x<π/2 で f'(x)=−tan²x≦0 であり、任意のa<bについて f(b)−f(a)=−∫_a^b tan²u du<0。積分区間は長さが正で、被積分関数は一点u=0を除いて正だからである。したがってfはxが増えると値が必ず小さくなる。また x→−π/2+ で f(x)→+∞、x→π/2− で f(x)→−∞。連続性と中間値の定理により、どの実数aに対してもf(x)=aを満たすxがこの区間に存在し、異なるxで同じ値をとらないことからただ1つである。

(2) tでの接線は y=cos(t)x+sin(t)−t cos(t)。同じ直線がs≧π/2にある曲線上の点でも接する条件は、傾きと切片の一致、すなわち cos(s)=cos(t) かつ sin(s)−s cos(s)=sin(t)−t cos(t) である。cos(s)=cos(t)から s=2kπ+t または s=2kπ−t (kは整数)。|t|<π/2 と s≧π/2 より k≧1。前者の切片差は −2kπ cos(t) であり、cos(t)>0なので0にならず不可能。後者の切片差は 2cos(t)(t−tan(t)−kπ) だから、切片が一致するのは t−tan(t)=kπ のとき、かつそのときに限る。(1)でこの方程式の区間内の解はただ1つと示したので、t=x_k。k≧1より t は x_1,x_2,… のいずれかである。

逆に t=x_n (n≧1) とする。f(t)=nπ>f(0)=0 でfはxが増えると値が必ず小さくなるので t<0。s=2nπ−t とおくと s>2π>π/2、cos(s)=cos(t)、sin(s)=−sin(t)。さらに t−tan(t)=nπ なので、後者の切片差 2cos(t)(t−tan(t)−nπ) は0である。よってsでの接線はtでの接線と同じであり、指定された領域内でも曲線に接する。以上で必要十分性が示された。