3滋賀医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

問題の解の候補を $x=2n\pi+u$（$0<u<\pi/2$）と表す。このとき方程式は $$\displaystyle H_n(u):=\frac{(2n\pi+u)(1-\cos u)}{\sin(u+a)}=1$$ と同値である。ここで $0<u+a<\pi$ なので分母は正である。また $$\displaystyle \frac{H_n'(u)}{H_n(u)}=\frac1{2n\pi+u}+\frac{\sin u}{1-\cos u}-\cot(u+a) =\frac1{2n\pi+u}+\cot\frac u2-\cot(u+a)>0.$$ 最後の不等号は $0<u/2<u+a<\pi$ と、$0<v<\pi$ の範囲で、$v$ が大きくなると $\cot v$ が必ず小さくなることから従う。したがって $H_n(u)$ は、$u$ が大きくなると必ず大きくなる。さらに $\displaystyle \lim\limits _{u\to0+}H_n(u)=0$、 $$\displaystyle \lim\limits _{u\to\pi/2-}H_n(u)=\frac{2n\pi+\pi/2}{\cos a}>1$$ だから、中間値の定理により $H_n(u)=1$ はただ1つ解をもつ。これで(1)が示された。

その解を $u_n=x_n-2n\pi$ とする。元の式から $$(2n\pi+u_n)(1-\cos u_n)=\sin(a+u_n)\le 1.$$ 任意の $\varepsilon>0$ に対し $u_n\ge\varepsilon$ となることが無限回あれば左辺は $2n\pi(1-\cos\varepsilon)$ 以上となり、$n\to\infty$ で有界性に反する。ゆえに $u_n\to0$ であり、(2)の極限は $0$。

さらに $$\displaystyle n u_n^2=\sin(a+u_n)\,\frac{n}{2n\pi+u_n}\,\frac{u_n^2}{1-\cos u_n}.$$ $u_n\to0$ と $1-\cos u=2\sin^2(u/2)$、および問題で許された $\sin v/v\to1$ を用いると、右辺の各因子はそれぞれ $\sin a$、$1/(2\pi)$、$2$ に収束する。したがって $n u_n^2\to\sin a/\pi$。$u_n>0$ より $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\sqrt n\,(x_n-2n\pi)=\sqrt{\frac{\sin a}{\pi}}}.$$